Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равно 0 2

7.1. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу 4 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины и построить ее график.

7.2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины — числа импортных из 4 наудачу взятых телевизоров. Найти функцию распределения и построить ее график.

7.3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

7.4. Поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность сдачи первого экзамена 0,9, второго — 0,8, третьего — 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа приходов на экзамен для лица, поступающего в институт. Найти математическое ожидание случайной величины.

7.5. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения.

7.6. Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.7. В урне находятся шары трех весов 3, 4 и 5 кг с соответствующими вероятностями 0,2; 0,3; 0,5. Извлекаются два шара с возвращением обратно. Составить закон распределения суммарного веса двух извлеченных шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.8. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина Х — число попаданий в цель при трех выстрелах. Составить закон распределения случайной величины Х.

7.9. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.10. В лотерее разыгрывается один автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., четыре телевизора – стоимостью 250 ден. ед. каждый, пять магнитофонов – стоимостью 200 ден. ед. каждый. Продано 1000 билетов стоимостью 7 ден. ед. каждый. Составить закон распределения случайной величины Х – чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

7.11. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 карты) валет или даму, выигрывает 15 очков; тот, кто вытащит короля или козырного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. Если вы решили участвовать в этой игре, определите сумму очков ожидаемого выигрыша.

7.13. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,5. Пусть Х – число попаданий в мишень первым стрелком, Y– число попаданий в мишень вторым стрелком. Построить закон распределения случайной величины Z = X – Y и найти M(Z), D(Z).

7.14. Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.15. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2 : 3. Куплено четыре пары обуви. Построить закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

7.16. В партии из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы его обнаружить вынимают наугад одно изделие за другим и каждое вынутое изделие проверяют. Построить закон распределения и найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

7.17. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти M(Х) и D(Х) случайной величины, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

7.18. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из своих возможных значений, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, которые можно пронумеровать.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является её закон распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Иногда ряд распределения записывают в виде матрицы

Ряд распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности.

Соединение полученных точек образует ломаную, называемую полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать аналитически, т.е. в виде формулы. Например,

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая величина.

Для случайных величин вводят следующие математические операции.

Приведем основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:

Дисперсия характеризует рассеивание, разброс случайной величины относительно своего математического ожидания.

Она обладает следующими основными свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания:

Пример 23. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов и найти моду этой случайной величины.

В итоге построим по полученным значениям вероятностей ряд распределений числа кустов земляники, зараженных вирусом:

Пример 24. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решённых задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Тогда ряд распределения числа правильно решенных задач имеет вид:

Пример 25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

В дальнейшем удобнее составить следующую таблицу.

Далее определяем по формуле (22) дисперсию этой случайной величины:

Тогда по свойствам математического ожидания

Аналогично, воспользовавшись свойствами дисперсии, получим

Составить закон распределения:

Найдем соответствующие вероятности.

Тогда вычисляем суммарную вероятность для этих двух одинаковых значений:

Отсюда суммарная вероятность найдется как сумма вероятностей трёх событий:

По теореме умножения вероятностей

Дата публикования: 2015-11-01 ; Прочитано: 4537 | Нарушение авторского права страницы

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2020 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.021 с) .

1.2.11. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона имеет следующие характеристики:

– описывает редкие события;

– каждый исход является независимым от другого;

– описывает дискретные исходы на интервале или на континууме;

Распределение Пуассона определяется как

Параметр a является средним для данного интервала, значение которого должно сохраняться для всего данного эксперимента.

Значение параметра a для закона Пуассона совпадает с дисперсией, и это используется для подтверждения того, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. 2 % книг имеют дефект в переплете. Определить вероятность того, что 5 из 400 книг имеют дефект в переплете.

Пример. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0.375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 часов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее двух и не более четырех обрывов).

1.2.12. Задание для самостоятельной работы

1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0.2:

а) составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов;

б) определить математическое ожидание;

в) определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют.

а) составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за три выстрела;

б) определить матожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0.9, второй задачи – 0.8, третьей задачи – 0.7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете. Определить матожидание и дисперсию.

4. Из пяти гвоздик – две белого цвета. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых. Определить функцию распределения случайной величины числа белых гвоздик.

Ответ: р 1=0.3, p 2=0.6, p 3 = 0.1.

5. Дана функция распределения случайной величины X .

а) ряд распределения;

в) построить многоугольник распределения;

г) график функции распределения.

Ответ: M ( X )=2, D ( X )= 0.6.

6. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Определить матожидание и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

7. При сборке прибора для наиболее точной подгонки основной детали может потребоваться 1,2,3,4 или 5 проб с вероятностями 0.07, 0.21, 0.55, 0.16, 0.01. Сколько деталей надо отпустить сборщику для сборки тридцати приборов?

8. Спортсмен производит ряд попыток забросить мяч в кольцо. При каждой попытке (независимо от других) попадание в кольцо происходит с вероятностью 0.7. Как только мяч попал в кольцо, попытки прекращаются. Случайная величина X – число попыток, которые необходимо произвести. Составить ряд распределения этой случайной величины.

9. Пусть вероятность изготовления нестандартного изделия равна 0.06. Контролер берет из партии изделие и сразу его проверяет. Если изделие оказывается нестандартным, то проверка прекращается и партия бракуется. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер берет следующее изделие, но проверяет не более пяти изделий.

Составить закон распределения и функцию распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения.

10. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1.5 минут, желтый – в течение 0.3 минут, красный – в течение 1.2 минуты. Составить закон распределения случайной величины, определяющей число остановок автомобиля. Определить M ( X ), D ( X ).

Ответ: M ( X )=1.2, D ( X )=0.72.

1.2.13. Наиболее часто встречающиеся непрерывные распределения

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения проявляется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно, и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные.

Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить отклонения действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; отклонения при стрельбе и др.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если её плотность распределения имеет вид

Функция распределения случайной величины Х , имеющей нормальное распределение, имеет вид

График плотности нормального распределения (кривая распределения или кривая Гаусса) имеет вид, представленный на рис. 1.9.

Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

На рис. 1.10 представлены графики кривых нормальных распределений с параметрами:

Рис. 1.10. Кривые нормального распределения

– она симметрична относительно оси ординат;

которая называется интегралом вероятностей, или функцией Лапласа (см. табл. I Приложения).

Для симметричного интервала

Интеграл вероятностей (или функция Лапласа), для которого составлены таблицы, может определяться еще в виде

Функция распределения стандартизованного нормального распределения имеет следующие свойства:

1.2.11. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона имеет следующие характеристики:

– описывает редкие события;

– каждый исход является независимым от другого;

– описывает дискретные исходы на интервале или на континууме;

Распределение Пуассона определяется как

Параметр a является средним для данного интервала, значение которого должно сохраняться для всего данного эксперимента.

Значение параметра a для закона Пуассона совпадает с дисперсией, и это используется для подтверждения того, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. 2 % книг имеют дефект в переплете. Определить вероятность того, что 5 из 400 книг имеют дефект в переплете.

Пример. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0.375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 часов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее двух и не более четырех обрывов).

1.2.12. Задание для самостоятельной работы

1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0.2:

а) составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов;

б) определить математическое ожидание;

в) определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют.

а) составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за три выстрела;

б) определить матожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0.9, второй задачи – 0.8, третьей задачи – 0.7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете. Определить матожидание и дисперсию.

4. Из пяти гвоздик – две белого цвета. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых. Определить функцию распределения случайной величины числа белых гвоздик.

Ответ: р 1=0.3, p 2=0.6, p 3 = 0.1.

5. Дана функция распределения случайной величины X .

а) ряд распределения;

в) построить многоугольник распределения;

г) график функции распределения.

Ответ: M ( X )=2, D ( X )= 0.6.

6. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Определить матожидание и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

7. При сборке прибора для наиболее точной подгонки основной детали может потребоваться 1,2,3,4 или 5 проб с вероятностями 0.07, 0.21, 0.55, 0.16, 0.01. Сколько деталей надо отпустить сборщику для сборки тридцати приборов?

8. Спортсмен производит ряд попыток забросить мяч в кольцо. При каждой попытке (независимо от других) попадание в кольцо происходит с вероятностью 0.7. Как только мяч попал в кольцо, попытки прекращаются. Случайная величина X – число попыток, которые необходимо произвести. Составить ряд распределения этой случайной величины.

9. Пусть вероятность изготовления нестандартного изделия равна 0.06. Контролер берет из партии изделие и сразу его проверяет. Если изделие оказывается нестандартным, то проверка прекращается и партия бракуется. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер берет следующее изделие, но проверяет не более пяти изделий.

Составить закон распределения и функцию распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения.

10. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1.5 минут, желтый – в течение 0.3 минут, красный – в течение 1.2 минуты. Составить закон распределения случайной величины, определяющей число остановок автомобиля. Определить M ( X ), D ( X ).

Ответ: M ( X )=1.2, D ( X )=0.72.

1.2.13. Наиболее часто встречающиеся непрерывные распределения

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения проявляется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно, и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные.

Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить отклонения действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; отклонения при стрельбе и др.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если её плотность распределения имеет вид

Функция распределения случайной величины Х , имеющей нормальное распределение, имеет вид

График плотности нормального распределения (кривая распределения или кривая Гаусса) имеет вид, представленный на рис. 1.9.

Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

На рис. 1.10 представлены графики кривых нормальных распределений с параметрами:

Рис. 1.10. Кривые нормального распределения

– она симметрична относительно оси ординат;

которая называется интегралом вероятностей, или функцией Лапласа (см. табл. I Приложения).

Для симметричного интервала

Интеграл вероятностей (или функция Лапласа), для которого составлены таблицы, может определяться еще в виде

Функция распределения стандартизованного нормального распределения имеет следующие свойства:

Клиенты банка, не связанные друг с экзамен по теории вероятностей и математической статистике, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.

Найти функцию распределения случайной величины . Найти выражения плотности вероятности и функции распределения случайной величины . Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. Нормально распределенная случайная величина имеет следующую функцию распределения: . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале .

Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы Сони. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы Сони среди 3 отобранных. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке.

Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. Случайная величина , сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Случайная величина , сосредоточенная на интервале , задана квадратичной функцией распределения , имеющей максимум при . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины . 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?

Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта. Полагая распределения доходности по каждой акции нормальными, на уровне значимости 0,05 проверить утверждение, содержащееся в рекламе. 40, 39, 42, 37, 38, 43, 45, 41, 48.

Вступительный экзамен проводится на двух факультетах института. Компания не осуществляет инвестиционных вложений в ценные бумаги с дисперсией годовой доходности более чем 0,04. Выборка из 52 наблюдений по активу А показала, что выборочная дисперсия ее доходности равна 0,045. Фирма рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Фирма разослала 1000 каталогов новой, улучшенной, формы и получила 100 заказов.

На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней. Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного магазина составляла 6 т. При среднем квадратичном отклонении 0,05 т. Сегодня магазином было продано 7 т.

Поставщик двигателей утверждает, что средний срок их службы равен 800 ч. Для выборки из 17 двигателей средний срок службы оказался равным 865 ч. По паспортным данным на автомобильный двигатель, расход топлива на 100 км. В результате совершенствования конструкции ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем: средний расход топлива на 100 км пробега составляет 9,2л.

1.2.11. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона имеет следующие характеристики:

– описывает редкие события;

– каждый исход является независимым от другого;

– описывает дискретные исходы на интервале или на континууме;

Распределение Пуассона определяется как

Параметр a является средним для данного интервала, значение которого должно сохраняться для всего данного эксперимента.

Значение параметра a для закона Пуассона совпадает с дисперсией, и это используется для подтверждения того, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. 2 % книг имеют дефект в переплете. Определить вероятность того, что 5 из 400 книг имеют дефект в переплете.

Пример. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0.375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 часов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее двух и не более четырех обрывов).

1.2.12. Задание для самостоятельной работы

1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0.2:

а) составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов;

б) определить математическое ожидание;

в) определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют.

а) составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за три выстрела;

б) определить матожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0.9, второй задачи – 0.8, третьей задачи – 0.7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете. Определить матожидание и дисперсию.

4. Из пяти гвоздик – две белого цвета. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых. Определить функцию распределения случайной величины числа белых гвоздик.

Ответ: р 1=0.3, p 2=0.6, p 3 = 0.1.

5. Дана функция распределения случайной величины X .

а) ряд распределения;

в) построить многоугольник распределения;

г) график функции распределения.

Ответ: M ( X )=2, D ( X )= 0.6.

6. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Определить матожидание и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

7. При сборке прибора для наиболее точной подгонки основной детали может потребоваться 1,2,3,4 или 5 проб с вероятностями 0.07, 0.21, 0.55, 0.16, 0.01. Сколько деталей надо отпустить сборщику для сборки тридцати приборов?

8. Спортсмен производит ряд попыток забросить мяч в кольцо. При каждой попытке (независимо от других) попадание в кольцо происходит с вероятностью 0.7. Как только мяч попал в кольцо, попытки прекращаются. Случайная величина X – число попыток, которые необходимо произвести. Составить ряд распределения этой случайной величины.

9. Пусть вероятность изготовления нестандартного изделия равна 0.06. Контролер берет из партии изделие и сразу его проверяет. Если изделие оказывается нестандартным, то проверка прекращается и партия бракуется. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер берет следующее изделие, но проверяет не более пяти изделий.

Составить закон распределения и функцию распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения.

10. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1.5 минут, желтый – в течение 0.3 минут, красный – в течение 1.2 минуты. Составить закон распределения случайной величины, определяющей число остановок автомобиля. Определить M ( X ), D ( X ).

Ответ: M ( X )=1.2, D ( X )=0.72.

1.2.13. Наиболее часто встречающиеся непрерывные распределения

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения проявляется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно, и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные.

Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить отклонения действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; отклонения при стрельбе и др.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если её плотность распределения имеет вид

Функция распределения случайной величины Х , имеющей нормальное распределение, имеет вид

График плотности нормального распределения (кривая распределения или кривая Гаусса) имеет вид, представленный на рис. 1.9.

Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

На рис. 1.10 представлены графики кривых нормальных распределений с параметрами:

Рис. 1.10. Кривые нормального распределения

– она симметрична относительно оси ординат;

которая называется интегралом вероятностей, или функцией Лапласа (см. табл. I Приложения).

Для симметричного интервала

Интеграл вероятностей (или функция Лапласа), для которого составлены таблицы, может определяться еще в виде

Функция распределения стандартизованного нормального распределения имеет следующие свойства: