Геометрические приложения определенного интеграла шпора

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси Ox

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

вокруг оси Ox

Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

вокруг оси Ox .

Применение формул, перечисленных в таблице, проиллюстрировано на примерах, содержащих, в частности, вывод формулы объема пирамиды, формул объема шара и площади сферы.

Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

Пример 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение . Рассматриваемая фигура (рис. 1) состоит из двух частей: треугольника OAB и криволинейной трапеции ABCD.

Пример 2 . Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2

Решение . Площадь криволинейной трапеции ABCD вычисляется с помощью формулы для площади криволинейной трапеции с f (x)

Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

Пример 3 . Найти длину дуги графика функции

Решение . График рассматриваемой функции изображен на рисунке 3

Для вычисления длины дуги AB нужно, в соответствии с формулой для длины дуги графика функции, вычислить определенный интеграл

Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница:

Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA₁A₂ . A_n так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).

Итак, мы получили формулу для объема пирамиды

котрой пользовались в различных разделах справочника.

Замечание . Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.

Пример 5 . Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.

что и должно было получиться.

Вывод формулы для площади сферы

Решение . Снова рассмотрим функцию

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).

Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем

Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:

41.1. Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с є (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с; b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

При нахождении приближенного значения ΔА_i допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

1) на отрезке [а;b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х є [a;b] — один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малую величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = ƒ(х) dx, где ƒ(х), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dA ≈ ΔА при Δх → 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

41.2. Вычисление площадей плоских фигур

Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).

Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное х Î [а; b] и будем считать, что S = S(x).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.

прямыми х = аих = bи осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где а и β определяютсяиз равенств х(а) = а и х(β) =b.

Пример 41. 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х 2 - 2х при х є [0; 3].

Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 178. Находим ее площадь S:

Пример 41.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = а cos t, у = b sin t.

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а φ — полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь

41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Значит, l = 2 π R. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х=Rcost, у = Rsint (0≤t≤2 π ), то

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему II (метод дифференциала).

1. Возьмем произвольное значение х є [а; b] и рассмотрим переменный отрезок [а;х]. На нем величина l становится функцией от х, т.е. l = l(х) (l(а) = 0 и l(b) = l).

Так как у'_х = -dy/dx, то

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см. рис. 186).

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(φ), а≤φ≤β. Предположим, что r(φ) и r'(φ) непрерывны на отрезке [а;β].

Если в равенствах х = rcosφ, у = rsinφ, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол φ, то кривую АВ можно задать параметрически

Применяя формулу (41.5), получаем

Пример 41.5. Найти длину кардиоиды r = = а(1 + cosφ).

Таким образом, 1/2l= 4а. Значит, l= 8а.

41.4. Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

Применим схему II (метод дифференциала).

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до В:

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Поэтому, поформуле (41.6), имеем

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х) 0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х Î [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)= π y 2.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,

у = d (с π (у+у+dy)•dl=2 π уdl + π dydl. Отбрасывая произведение dydl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds=2 π уdl, или, так как

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t),y=y(t), t₁ ≤ t ≤ t₂, то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид

Пример 41.8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Пример 41.9. Дана циклоида

Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.

Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

41.6. Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Таким образом, dp=g g π R 2 dx и dA = g g π R 2 dx*x.

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t₁ до t₂.

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.

Пример 41.12. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t)=10t+2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4-й секунды, равен

Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р = g *g* S * h, где g — ускорение свободного падения, g — плотность жидкости, S - площадь пластинки, h - глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, у₁ = f₁(x) и у₂=ƒ₂(х); система координат выбрана так, как указано на рисунке 194. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx. Функция р(х) получит приращение Δр (на рисунке — полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = В, получим

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Пусть у = ƒ(х) (a ≤ x ≤ b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью g ( g = const).

Аналогично находим S_y:

Статические моменты S_x и S_y кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = ƒ(х), х Î [a;b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = ƒ (х) относительно той же оси. Обозначим через С(х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой у = ƒ(х) 0 и прямыми у = 0, х = a, x = b (см. рис. 198).

Тогда масса его равна g ydx. Центр тяжести С пря моугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С отстоит от оси Ох на 1/2*у, а от оси Оу на х (приближенно; точнее на расстоянии х+ 1 /₂∆х). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

Пример 41.15. Найдем координаты центра тяжести полукруга х 2 +у 2 ≤R 2 , у≥0 ( g =const) (см. рис. 199).

Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.

В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.

В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.

Площадь плоской фигуры

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_ <1>\left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_ <2>\left(x\right)$, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _^\left(y_ <1>\left(x\right)-y_ <2>\left(x\right)\right)\cdot dx $.

Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_ <1>\left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_ <2>\left(y\right)$, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _^\left(x_ <1>\left(y\right)-x_ <2>\left(y\right)\right)\cdot dy $.

• Курсовая работа Приложения определенного интеграла 470 руб.
• Реферат Приложения определенного интеграла 270 руб.
• Контрольная работа Приложения определенного интеграла 210 руб.

Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а также двумя лучами, проходящими под углами $\phi =\alpha $ и $\phi =\beta $ соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: $S=\frac<1> <2>\cdot \int \limits _<\alpha >^<\beta >\rho ^ <2>\left(\phi \right)\cdot d\phi $.

Длина дуги кривой

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _<\alpha >^<\beta >\sqrt <\rho ^<2>\left(\phi \right)+\rho '^ <2>\left(\phi \right)> \cdot d\phi $.

Если на отрезке $\left[a,\; b\right]$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _^\sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $.

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана параметрически, то есть $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _<\alpha >^<\beta >\sqrt \left(t\right)+y'^ <2>\left(t\right)> \cdot dt $.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям $a\le x\le b$, и для которого известны площади сечений $S\left(x\right)$ плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$.

Формула для вычисления объема такого тела имеет вид $V=\int \limits _^S\left(x\right)\cdot dx $.

Объем тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$ задана неотрицательная непрерывная функция $y=y\left(x\right)$, образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то образуется тело, называемое телом вращения.

Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид $V=\int \limits _^S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _^y^ <2>\left(x\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_ <1>\left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_ <2>\left(x\right)$, где $y_ <1>\left(x\right)$ и $y_ <2>\left(x\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Ox$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _^\left(y_<1>^ <2>\left(x\right)-y_<2>^ <2>\left(x\right)\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_ <1>\left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_ <2>\left(y\right)$, где $x_ <1>\left(y\right)$ и $x_ <2>\left(y\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Oy$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _^\left(x_<1>^ <2>\left(y\right)-x_<2>^ <2>\left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$ задана неотрицательная функция $y=y\left(x\right)$ с непрерывной производной $y'\left(x\right)$. Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ -- его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _^y\left(x\right)\cdot \sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $.

Предположим, что кривую $x=\phi \left(y\right)$, где $\phi \left(y\right)$ -- заданная на отрезке $c\le y\le d$ неотрицательна функция, вращают вокруг оси $Oy$. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _^\phi \left(y\right)\cdot \sqrt <1+\phi '^<2>\left(y\right)> \cdot dy $.

Физические приложения ОИ

1. Для вычисления пройденного пути в момент времени $t=T$ при переменной скорости движения $v=v\left(t\right)$ материальной точки, которая начала движение в момент времени $t=t_ <0>$, используют ОИ $S=\int \limits _ >^v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Для вычисления работы переменной сили $F=F\left(x\right)$, приложенной к материальной точке, перемещающейся по прямолинейному пути вдоль оси $Ox$ от точки $x=a$ до точки $x=b$ (направление действия силы совпадает с направлением движения) используют ОИ $A=\int \limits _^F\left(x\right)\cdot dx $.
3. Статические моменты относительно координатных осей материальной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left[a,\; b\right]$ выражаются формулами $M_ =\rho \cdot \int \limits _^y\left(x\right)\cdot \sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $ и $M_ =\rho \cdot \int \limits _^x\cdot \sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $, где линейная плотность $\rho $ этой кривой считается постоянной.
4. Центр масс материальной кривой -- это точка, в которой условно сосредоточена вся её масса таким образом, что статические моменты точки относительно координатных осей равны соответствующим статическим моментам всей кривой в целом.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева и справа - прямыми x=a и x=b соответственно, снизу - осью Ox, вычисляется по формуле

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y), сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно, слева - осью Oy:

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу - графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа - прямыми x=a и x=b:

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной слева и справа графиками функций x₁=φ₁(y) и x₂=φ₂(y), сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно:

Рассмотрим случай, когда линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями x = φ₁(t), y = φ₂(t), где α ≤ t ≤ β, φ₁(α)=a, φ₁(β)=b. Эти уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a, b]. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Перейдем к новой переменной x = φ₁(t), тогда dx = φ'₁(t) dt, а y=f(x)=f(φ₁(t))=φ₂(t), следовательно, \begin

Площадь в полярных координатах

Рассмотрим криволинейный сектор OAB, ограниченный линией, заданной уравнением ρ=ρ(φ) в полярных координатах, двумя лучами OA и OB, для которых φ=α, φ=β.

Сектор разобьем на элементарные секторы OM_k-1M_k (k=1, …, n, M₀=A, M_n=B). Обозначим через Δφ_k угол между лучами OM_k-1 и OM_k, образующими с полярной осью углы φ_k-1 и φ_k соответственно. Каждый из элементарных секторов OM_k-1M_k заменим круговым сектором с радиусом ρ_k=ρ(φ'_k), где φ'_k - значение угла φ из промежутка [φ_k-1, φ_k], и центральным углом Δφ_k. Площадь последнего сектора выражается формулой
.

выражает площадь "ступенчатого" сектора, приближенно заменяющего данный сектор OAB.

Площадью сектора OAB называется предел площади "ступенчатого" сектора при n → ∞ и λ=max Δφ_k → 0:

Так как
, то

Длина дуги кривой

Пусть на отрезке [a, b] задана дифференцируемая функция y=f(x), графиком которой является дуга
. Отрезок [a,b] разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n-1. Этим точкам будут соответствовать точки M₁, M₂, …, M_n-1 дуги
, соединим их ломаной линией, которую называют ломаной, вписанной в дугу
. Периметр данной ломаной обозначим через s_n, то есть

Определение. Длиной дуги линии называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев M_k-1M_k неограничено возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

где λ - длина наибольшего звена.

Будем отсчитывать длину дуги от некоторой ее точки, например, A. Пусть в точке M(x,y) длина дуги
равна s, а в точке M'(x+Δ x,y+Δy) длина дуги
равна s+Δs, где ,i>Δs - длина дуги
. Из треугольника MNM' находим длину хорды
:
.

Из геометрических соображений следует, что

то есть бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны.

Преобразуем формулу, выражающую длину хорды
:

Переходя к пределу в этом равенстве, получим формулу для производной функции s=s(x):

из которой находим

Эта формула выражает дифференциал дуги плоской кривой и имеет простой геометрический смысл: выражает теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника MTN (ds=MT,
).

Дифференциал дуги пространственной кривой определяется формулой

Рассмотрим дугу пространственной линии, заданной параметрическими уравнениями

где α ≤ t ≤ β, φ_i(t) (i=1, 2, 3) - дифференцируемые функции аргумента t, то

Интегрируя это равенство по промежутку [α, β], получаем формулу для вычисления длины этой дуги линии

Если линия лежит в плоскости Oxy, то z=0 при всех t∈[α, β], поэтому

В случае, когда плоская линия задана уравнением y=f(x) (a≤x≤b), где f(x) - дифференцируемая функция, последняя формула принимает вид

Пусть плоская линия задана уравнением ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β) в полярных координатах. В этом случае имеем параметрические уравнения линии x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, где в качестве параметра берется полярный угол φ. Поскольку

то формула, выражающая длину дуги линии ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β) в полярных координатах, имеет вид

Объем тела

Найдем объем тела, если известна площадь любого поперечного сечения этого тела, перпендикулярного некоторому направлению.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси Ox и определяемыми уравнениями x=const. Для любого фиксированного x∈[a,b] известна площадь S=S(x) поперечного сечения данного тела.

Элементарный слой, отсеченный плоскостями x=x_k-1, x=x_k (k=1, …, n, x₀=a, x_n=b), заменим цилиндром с высотой Δx_k=x_k-x_k-1 и площадью основания S(ξ_k), ξ_k∈[x_k-1,x_k].

Объем указанного элементарного цилиндра выражается формулой Δv_k=E(ξ_k)Δx_k. Составим сумму всех таких произведений

являющуюся интегральной суммой для данной функции S=S(x) на отрезке [a, b]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Объемом данного тела называют предел объема указанного ступенчатого тела при λ→0, где λ - длина наибольшего из элементарных отрезков Δx_k. Обозначим через V объем данного тела, тогда по определению

С другой стороны,

Следовательно, объем тела по заданным поперечным сечениям вычисляется по формуле

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии y=f(x), где a≤x≤b, то S(x)=πf 2 (x) и последняя формула принимает вид:

Замечание. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), вокруг оси Oy вычисляется по формуле

Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b) вокруг оси Ox (предположим, что функция y=f(x) имеет непрерывную производную). Фиксируем значение x∈[a,b], аргументу функции придадим приращение dx, которому соответствует "элементарное кольцо", полученное вращением элементарной дуги Δl. Это "кольцо" заменим цилиндрическим кольцом - боковой поверхностью тела, образованного вращением прямоугольника с основанием, равным дифференциалу дуги dl, и высотой h=f(x). Разрезав последнее кольцо и развернув его, получим полоску шириной dl и длиной 2πy, где y=f(x).

Следовательно, дифференциал площади поверхности выразится формулой

Эта формула выражает площадь поверхности, полученной вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b) вокруг оси Ox.