Найти вероятность того что результат анализа на гепатит у пациента будет положительным
Ошибка в анализе на гепатит С встречается часто, но каждый раз становится причиной сильного стресса для человека, сдавшего кровь на обследование. По статистике, не менее 60% результатов на наличие вируса в крови ошибочны, и дополнительные исследования опровергают неверный показатель. Но можно снизить вероятность результата с ошибкой, если знать, почему он возникает.
Может ли анализ на гепатит дать ложноположительный результат
Исследование на гепатит С относится к числу необходимых, так как инфекция распространена, и справка о статусе пациента нужна перед любым хирургическим вмешательством. Поэтому используются быстрые и недорогие методы диагностики, которые способны давать неверный результат.
Наиболее распространенный анализ крови на вирус гепатита – иммуноферментный (ИФА). Он выявляет не возбудителя патологии, а реакцию иммунитета. В ответ на появление в крови антигена, несущего опасность для организма, защитная система вырабатывает специфические белки. Они уничтожают или связывают только конкретный вирус, соединяясь с ним в устойчивый комплекс.
Но в крови огромное число циркулирующих иммунных комплексов, и ИФА может определить как антитела к гепатиту те белки, которые были выработаны для борьбы с другой инфекцией.
Вторая распространенная причина ложноположительного ИФА – перенесенный ранее гепатит С, после которого в организме навсегда остаются антитела к вирусу. Для таких людей способ диагностики при помощи выявления антител к вирусу гепатита не применяется из-за высокого риска ошибки.
Не менее 30% пациентов, перенесших гепатит С, излечиваются сами и даже не подозревают, что были серьезно больны. Клинические проявления могут отсутствовать или напоминать простуду. Но изменения в анализах остаются уже навсегда.
Также вероятность ошибки высока при патологической активности иммунитета: при беременности, на фоне аллергий и серьезных соматических патологий, аутоиммунных процессов. Так, при содержании ревматоидного фактора иногда ИФА дает ложноположительный результат.
Любой положительный итог, верный или ошибочный, требует перепроверки, без которой человека не поставят на учет и не назначат лечение.
Самый надежный способ подтверждения диагноза – выявление не антител, а рибонуклеиновой кислоты (РНК) вируса методом полимеразной цепной реакции. Для ПЦР необходима венозная кровь, в которой под влиянием ферментов и изменения температуры происходит самокопирование вируса. Поэтому если возбудитель гепатита в крови есть, он будет обнаружен. Ошибки при методе полимеразной цепной реакции бывают крайне редко. Обычно они связаны с человеческим фактором, который не исключен при любом исследовании.
Причины ошибок анализа
Ложный диагноз гепатита С не является опасным, за исключением того, что человек нервничает в ожидании готовности других тестов, назначенных для исключения ошибки. Менее благоприятна ситуация с ложным отрицательным результатом, когда патология в организме есть, но человек уверен в обратном. Такое случается крайне редко. Обычно это связано с тем, что серологический тест был проведен слишком рано, когда антитела еще не успели выработаться. То есть, раньше 2-4 недель после инфицирования.
Ложное подтверждение заражения вирусом гепатита встречается в следующих случаях:
- низкое качество применяемых реактивов;
- нарушение правил подготовки к анализу;
- острый воспалительный процесс в организме;
- период после вакцинации;
- аутоиммунные процессы;
- наличие специфического иммунитета к гепатиту;
- аллергия.
Для результата обследования на гепатит без ошибок важно внимательно подойти к выбору лаборатории.
Как избежать ошибочного результата
Вероятность ошибки минимизируется при правильной подготовке к исследованию. Перед сдачей крови необходимо:
- за 3 дня до анализа избегать стрессов, переохлаждения, тяжелых нагрузок;
- не принимать пищу 8 часов при исследовании методом ПЦР;
- за сутки отказаться от жирной пищи и алкоголя;
- не курить перед походом в процедурный кабинет.
При необходимости регулярно принимать какие-либо препараты нужно поставить в известность врача. Возможно, среди них есть те, которые могут повлиять на анализ. В этом случае лучше дождаться завершения курса приема или прервать его, чтобы лекарство не стало причиной ошибки при исследовании.
Диагностика любого заболевания сопряжена с возможными ошибками из-за человеческого фактора, особенностей постановки анализа либо индивидуальных черт здоровья самого человека. Особенно это касается исследований, результат которых напрямую зависит от функционирования иммунной системы. Ложноположительный анализ на гепатит С является причиной серьезного беспокойства у пациентов и его родственников. Но данные только одного теста никогда не служат основанием для начала терапии.
Для исключения ошибочного диагноза проводят и другие исследования, которые отличаются высокой специфичностью и точностью. Поэтому на конечном этапе лабораторного осмотра у доктора есть полное представление о тяжести патологии, состоянии печени, наличии сопутствующих инфекций. Этого достаточно для назначения полноценной антивирусной терапии.
Но если принять во внимании данные медицинской статистики, ложноположительная реакция на HCV – не редкость. И в большинстве случаев подобный результат не следствие ошибочно проведенного теста. Причина кроется в особенностях организма человека. Задача врача в таком случае – не только исключить либо подтвердить вирусную инфекцию, но и выяснить, почему получен ложный результат на гепатит С.
Методы лабораторной диагностики HCV
Тестирование на гепатит С не входит в перечень обязательных анализов при прохождении медосмотра (за исключением беременности и обследования для работников отдельных профессий). Однако направление на тест можно взять у участкового врача либо выполнить самостоятельно в платной лаборатории, где обычно не требуют никаких документов.
Перечень анализов, необходимых для исключения ошибки при диагностике гепатита С, приведен в таблице.
| Наименование исследования | Краткое описание |
| Тест на определение антител к антигенам гепатита С | |
| Тест на выявление РНК патогена | |
| Тест на определение вирусной нагрузки | Также проводится путем постановки ПЦР. Менее чувствителен, чем качественная ПЦР. Проводится после подтверждения диагноза HCV (а в дальнейшем для контроля терапии). В зависимости от полученных цифр устанавливают низкую, высокую или среднюю виремию (либо лабораторно не определяемые количества) |
| Генотипирование | Также проводится после подтверждения наличия вируса. В ходе исследования определяется структура возбудителя гепатита С – генотип, что является ключевым фактором выбора противовирусной терапии |
Обычно определяют концентрации билирубина, аланинаминотрансферазы (сокращенно, АЛТ) и аспартатаминотрансферазы (в лабораторном бланке обозначается как АСТ). Это ферменты, которые высвобождаются и попадают в системный кровоток при повреждении тканей печени. Повышение уровня АЛТ и АСТ (в сочетании с другими клиническими и лабораторными признаками) косвенно свидетельствует в пользу HCV. При подозрении на цирроз и нарушения секреции желчи назначают тесты на алкалин фосфатазу (АЛП) и гамма-глутамилтранспептидазу (ГГТ).
Проводят УЗИ, но оно дает лишь общее представление о состоянии органов брюшной полости. Более показателен фиброскан, предназначенный для определения степени фиброза (очагов соединительной ткани в нормальной паренхиме печени). При необходимости делают биопсию, которая позволяет через микроскоп взглянуть на состояние тканей органа, выявить тенденцию к злокачественной малигнизации.
Расшифровка
Иногда ошибочный диагноз может быть следствием самостоятельной интерпретации полученных в ходе лабораторного исследования данных. В лабораториях при больницах и поликлиниках результаты передают лечащему доктору. После сдачи крови в частных клиниках бланк с полученными цифрами отправляют на электронную почту, оставленную пациентом, или выдают на руки с рекомендацией обратиться к врачу.
Особенности расшифровки тестов указаны в таблице.
| Название теста | Ориентировочная интерпретация полученного результата |
| Иммуноферментный анализ (anti-HCV и другие тесты, определяющие иммуноглобулины) | Положительный результат является одним из признаков инфицирования гепатитом С. Наличие IgM обычно говорит о недавнем заражении. Такой тип АТ вырабатывается на острой стадии патологии. Синтез IgG начинается при хронизации болезнетворного процесса |
| Качественная ПЦР | Позитивный тест является подтверждением заражения HCV |
| Количественная ПЦР | Так как данный анализ назначается пациентам с подтвержденным диагнозом HCV, задача теста – установить уровень вирусной нагрузки и, соответственно, активность репликации вируса. Чем выше полученные цифры, тем сильнее выражен патологический процесс и больше вероятность тяжелых осложнений |
| Генотипирование | Существует 6 разновидностей возбудителя гепатита С. В России обычно диагностируют I, II или IV. Пятый и шестой встречаются редко и, как правило, у туристов, посещавших страны Африки. В бланке анализа указывают выявленный генотип. Но чувствительность этого анализа ниже, чем качественной ПЦР. Поэтому если разновидность патогена установить не удается, тест рекомендуют выполнить повторно через 2–3 недели |
Но в некоторых случаях в ходе проведенного обследования получают сомнительные результаты. Например, на фоне положительного ИФА ПЦР не обнаруживает следов патогена и наоборот. Поэтому интерпретацией данных тестов должен заниматься только врач. Доктор сможет предположить, что повлияло на проведение исследования, выяснить причину ложного анализа.
Кроме того специалист определяет необходимость в дополнительных анализах. В обязательном порядке делают тест на ВИЧ, венерические заболевания. Обязательно установить уровень сахара, протромбиновое время, общие показатели крови, мочи и кала. Часто показана кардиограмма, иногда – определение эндокринного и липидного профиля.
Может ли результат быть ошибочным
При получении позитивного результата практически у каждого возникает вопрос, может ли анализ на гепатит С быть ошибочным? Это очень серьезная проблема, так как лечение HCV сопряжено с риском развития побочных реакций, осложнений терапии и большими финансовыми затратами. Такой стресс особенно опасен для беременных женщин (либо планирующих зачатие, в том числе и по протоколу ЭКО), людей, страдающих от поражений сердечно-сосудистой системы.
Поэтому при объяснении вопроса, всегда ли верен анализ на гепатит С, доктора подчеркивают, что не следует исключать вероятность ошибки. Чтобы снизить вероятность ложно проведенного обследования, необходимо соответствующими образом подготовиться, поставить в известность лаборанта и доктора о принимаемых лекарственных препаратах, об известных хронических заболеваниях.
Нельзя исключить и человеческий фактор. Ошибки при диагностике могут быть допущены на любой стадии проведения теста, начиная с забора биологического материала и заканчивая непосредственной постановкой анализа. Кроме того, клинические лаборатории используют не одинаковые тест-системы. Они отличаются по чувствительности, специфичности и качеству.
При наличии сомнений в положительном результате исследования (например, отсутствие клинических признаков болезни, нормальная биохимия крови) анализ следует повторить в другой клинике. И наоборот, негативный тест на фоне повышения печеночных ферментов, сильной слабости, желтухи также служит поводом для проведения нового обследования. Несколько этапов диагностики гарантируют верный диагноз.
Ложноположительный результат
Ложные положительные результаты могут быть обусловлены тем, что используемые в тест-наборе реактивы распознают в качестве Ig к HCV другие протеины и антитела.
Это может произойти:
- при массивном выбросе иммуноглобулинов при латентно протекающих инфекциях (туберкулез, хронический пиелонефрит, цистит и т.д.);
- в результате изменения соотношения белковых фракций (при беременности, аутоиммунных заболеваниях печени).
Ложноположительный результат на гепатит С – не редкость. Зная о причинах подобной ошибки, специалисты рекомендуют сразу обследоваться методом постановки полимеразной цепной реакции. Это обойдется дороже, но только в таком случае можно минимизировать воздействие иммунных факторов, способных повлиять на конечный результат ИФА.
Наличие антител при отрицательной качественной ПЦР свидетельствует об отсутствии патологии. Но такое расхождение в результатах требует наблюдения у врача, повтора печеночных проб (через 2 недели), ИФА и ПЦР (через 3–4 месяца).
Причины ложноположительного анализа
На форумах, посвященных качеству работы различных клинических лабораторий, часто можно встретит негативные отзывы, и многие касаются именно исследования на гепатит С. Пациенты связывают причины ошибок с низкой квалификацией медицинского персонала. Что еще может повлиять на анализ? Человеческий фактор нельзя исключить, но в большинстве случаев неправильный результат является следствием других факторов.
Выделяют следующие причины ложноположительного анализа на гепатит С:
- период вынашивания ребенка (вне зависимости от срока гестации);
- аутоиммунное поражение печени, реже – других органов;
- бактериальные и другие микробные системные инфекции;
- ранее перенесенный гепатит С (по статистике, один из четырех пациентов выздоравливает самостоятельно, но повышенный титр антител сохраняется в течение нескольких лет, а иногда, на протяжении всей жизни);
- недавно сделанные прививки (особенно, живыми вакцинами);
- массивные паразитарные инвазии;
- длительный курс терапии интерферонами;
- неквалифицированный лаборант;
- ошибки при подготовке к исследованию;
- дети до 3–5 лет (при условии, что женщина в период беременности болела гепатитом С).
Таким образом получение позитивного результата ИФА на фоне негативной качественной ПЦР служит показанием к проведению следующих исследований:
- иммунограмма (оценка титра ANA и других специфических параметров, указывающих на аутоиммунный процесс), при подтверждении патологии на основании собранного анамнеза и жалоб больного определяют область поражения и вырабатывают тактику терапии;
- тест на ХГЧ, который позволяет выявить беременность через 1–2 недели после зачатия;
- ПЦР, анализ кала и другие исследования для определения паразитов (иногда подобный тест следует повторить несколько раз).
Выявить скрытую бактериальную инфекцию сложнее. Обязательно показана флюорография, иногда – КТ органов грудной клетки. В сомнительных случаях (или когда рентгенологические исследования противопоказаны) проводят анализ T-Spot для исключения туберкулеза. Выявление других возможных скрытых инфекций проводят аналогичным образом (симптоматика + данные лабораторных и инструментальных обследований).
Ошибки при беременности
Ложноположительный анализ на гепатит С при беременности – частая проблема, с которой приходится сталкиваться будущим родителям. К сожалению, далеко не все доктора предупреждают женщину о возможности получения подобных результатов. Установлено, что такая проблема вызвана выработкой особых белков беременности. Это целая группа протеинов, синтез которых начинается вскоре после гестации.
На основании только позитивного ИФА, полученного при беременности, диагноз HCV-инфекции не ставят. Подтверждение заболевания возможно только на основании качественной и количественной ПЦР.
Однако после родов женщина должна оставаться под медицинским наблюдением. Иммуноферментный анализ повторяют, в норме антитела должны либо отсутствовать, либо отмечаться тенденция к их снижению. Также повторно выполняют качественную полимеразную цепную реакцию для выявления возбудителя гепатита С.
Аналогичному обследованию подлежит и новорожденный. Но ИФА не проводят. Риск трансплацентарной и интранатальной передачи не превышает 7%, но через плаценту проходят антитела инфицированной женщины. Ig в крови ребенка могут обнаруживаться на протяжении 3–5 лет, поэтому для диагностирования вируса необходим тест методом ПЦР.
Ложноотрицательный тест
В некоторых случаях возможно получение ложноотрицательных результатов тестов, проведенных по технологии ИФА. Если позитивный ИФА служит основанием для дальнейшего обследования, то при негативных данных осмотр часто прекращают. Дальнейшее прогрессирование гепатита С чревато циррозом и раком печени.
Ложноотрицательный анализ на гепатит С может быть получен из-за иммуносупрессии, вызванной:
- ВИЧ и СПИД;
- прохождением курса лечения цитостатиками, иммуносупрессорами, стероидами;
- нарушениями кроветворения, вызванные врожденными и приобретенными причинами, в том числе, онкологией;
- неправильная подготовка к выполнению теста;
- аутоиммунными расстройствами.
При подозрении либо профилактической проверке на гепатит C проведение ИФА пациентам с подобными заболеваниями и синдромами не рекомендовано. Чтобы не терять времени, предлагают сразу выполнить ПЦР. Результат влияет на дальнейшую тактику.
Как избежать ошибочного результата исследований
Когда пациент интересуется у доктора, могут ли поставить ошибочно диагноз гепатита С, его предупреждают о необходимости соблюдения достаточно строгих правил подготовки к обследованию.
Для снижения риска получения ошибочных результатов тестирования нужно:
- За 7–10 дней до забора крови полностью исключить потребление спиртных напитков.
- Как минимум на протяжении двух недель соблюдать строгую диету (по столу №5). Рацион питания подразумевает отказ от жирной, жареной, слишком соленой пищи, консервов, колбасных изделий, фастфуда. Также под запрет попадают и кондитерские изделия, сдоба, содержащие шоколад продукты, жирные соусы (майонез). Необходимо полностью исключить газированные напитки, энергетики, строго ограничить кофе и крепкий чай. Разрешены фрукты, овощи, минеральная вода без газа, молоко и кисломолочные продукты с низким процентом жирности. Блюда должны тушиться, вариться, запекаться без масла либо готовиться на пару. Такие же принципы питания нужно соблюдать и до того момента, как будет поставлен точный диагноз.
- Сдавать анализ следует утром, как можно быстрее после пробуждения.
- Перед исследованием разрешено пить только обычную воду. Чай, кофе противопоказаны.
- Последний прием пищи должен быть не позже, чем за 12 часов до забора крови. При этом ужин должен быть легким, в идеале – свежие либо тушенные овощи, йогурт, каша.
- За 10–12 часов до анализа категорически запрещается курить.
- За 2–3 дня до анализа без необходимости не нужно принимать лекарства. А во время консультации врача по вопросу интерпретации результатов анализов необходимо рассказать доктору обо всех принимаемых медикаментах, включая витамины, жаропонижающие, обладающие гепатотоксическим эффектом средства.
Если какое-либо из перечисленных правил было нарушено, об этом следует поставить в известность врача. Но в таких случаях исследование рекомендуют перенести во избежание получения сомнительных результатов и ошибок в дальнейшей диагностике. Но проведение поэтапного обследования гарантируют постановку точного диагноза и своевременное начало терапии.
Ложные тесты требуют обязательной перепроверки и выяснения причины. Именно поэтому нельзя заниматься самодиагностикой, а тем более без консультации с врачом принимать какие-либо лекарства.
Часть 1 смотрите здесь.
Теория для решения задач здесь.
Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).
То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает произведение вероятностей каждого из событий:
Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):
Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма) в ситуации 2, то по формуле суммы вероятностей несовместных событий получаем:
Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Нас же интересует вероятность события, противоположного событию А+В. Действительно, всего возможны 4 события, три из них, помеченные желтым цветом, отвечают событию А+В:
Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:
Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и!) последние два промахнулся такова:
Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Рассмотрим следующие события:
Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть
I способ
Высшую категорию получает яйцо, если оно
1) из I хозяйства и I категории
или
2) из II хозяйства и I категории,
II способ
Тогда вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства есть
Задача 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:
При этом вероятность события С есть сумма вероятностей событий А и В:
Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):
Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.
Анализ дает положительный результат в случаях
пациент болен и (умножение) анализ положителен
или (сложение)
пациент не болен и анализ ложно положителен
Так как по условию задачи у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат, то
Переформулируем вопрос задачи:
Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?
При одном выстреле вероятность промаха – 0,6.
Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98.
Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете яблок, из них — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое — .
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .
Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
В фирме такси в данный момент свободно машин: красных, желтых и зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .
В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .
Родительский комитет закупил пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них с картинами известных художников и с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменок: из России, из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая — спортсменок). Ответ: .
Ученика попросили назвать число от до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .
Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
— нечетные числа; — четные. Вероятность нечетного числа очков равна .
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты — уже четыре исхода:
| орел | орел |
| орел | решка |
| решка | орел |
| решка | решка |
Три монеты? Правильно, исходов, так как .
| орел | орел | орел |
| орел | орел | решка |
| орел | решка | орел |
| решка | орел | орел |
| орел | решка | решка |
| решка | орел | решка |
| решка | решка | орел |
| решка | решка | решка |
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего возможных исходов, так как .
А теперь — благоприятные исходы:
Вероятность выпадения восьми очков равна .
Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.
Если вероятность попадания равна — следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .
Вероятность: логика перебора.
В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях и — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:
Всего возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна .
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Сумма событий, произведение событий и их комбинации
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.
– вероятность того, что он сломается на второй год, – вероятность того, что он прослужит больше двух лет. Очевидно,
События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.
Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.
Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна то есть 0,03125.
События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.
В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.
Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.
(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.
Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.
Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна .
Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% - не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.
Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% - не высшей.
Пусть случайно выбранное в магазине яйцо - из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:
Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна
Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.
Мы получили уравнение:
Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).
Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:
Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.
Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.
Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.
Читайте также: