Вирус распространяется по экспоненте
Детектив: откуда взялся COVID-19 и как перемещается (ENG)
Демография имеет значение (ENG)
Поскольку летальность COVID-19 значительно увеличивается с возрастом пациента, особенности возрастных структур населения могут оказывать значительный эффект на общую смертность от пандемии коронавируса. Демограф Илья Кашницкий оценил этот эффект и отобразил на карте различия в возрастных структурах населения регионов Европы.
За основу взяли данные о летальности пандемии в Италии — первой европейской стране, где ситуация начала развиваться очень быстро, и к 17 марта было зафиксировано уже 2003 смерти. Предположив, что во всех прочих регионах Европы летальность будет такой же как мы наблюдали в Италии, а общее число инфицированных достигнет 2/3 населения (цифра, о которой упоминала в своем обращении Ангела Меркель), рассчитали долю населения с повышенным риском умереть от пандемии. Надо отметить, что эта величина не претендует на роль сколько-нибудь точного прогноза финальной летальности. Допущения при расчетах очень значительны и маловероятны в долгосрочной перспективе. Однако, суть исследования — в сравнении возрастных структур населения. Различия между ними останутся неизменными, даже если повозрастная летальность от COVID-19 окажется существенно отличной от наблюдаемых сейчас в Италии величин, важно лишь, чтобы различия между возрастными группами оставались схожими.
Проведенный анализ позволяет выявить потенциально наиболее уязвимые регионы. Наибольшие потери населения из-за пандемии вероятны в странах и регионах с наиболее возрастным населением — Италия, Германия и Испания. Самый интересный вывод: несмотря на то, что сейчас наибольшее количество зарегистрированных случаев заражения и смертей концентрируется в больших городах, куда вирус пришел раньше, при масштабном неконтролируемом распространении наиболее проблемными станут отдаленные периферийные районы с наиболее пожилым населением. Это еще одна причина, почему карантинные меры, призванные растянуть во времени пик пандемии, чрезвычайно важны, особенно в странах Европы с относительно старым населением.
Источник: Kashnitsky, I. (2020). COVID-19 in unequally ageing European regions. OSF Preprint.
Экспоненциальный рост и эпидемии (ENG, RUS)
Математик объясняет, в какой момент нужно начинать беспокоиться. Эпидемия развивается экспоненциально — это значит умножение на какую-то константу (постоянный коэффициент).
Согласно данным на начало марта число случаев каждый день превышало число случаев в предыдущий день в 1,12—1,25 раз. Изменение количества зараженных изо дня в день складывается из трех цифр: количество зараженных в определенный день (N), среднее количество человек, с которым зараженный может контактировать в определенный день (E), и вероятность каждого контакта стать новым случаем заражения (p). Соответственно, по данным на 6 марта, в среднем каждые 16 дней количество зараженных увеличивалось в 10 раз. Но просто провести восходящий тренд недостаточно: в какой момент рост кривой должен остановиться. И важную роль начинают играть переменные E и p — они должны снижаться, чтобы остановить экспоненциальный рост.
Интерактивная модель: как распространяется вирус (ENG)
У The Washington Post вышел интерактивный материал о том, как распространяются инфекции. Основная идея — показать, почему важно ограничивать контакты каждого конкретного человека с внешним миром, а вот закрывать города и страны совсем необязательно. Симуляции показывают, как изменяется кривая количества зараженных в зависимости от того, какая стратегия используется: не делать ничего; попытка закрыть город на карантин; социальная изоляция четверти населения; социальная изоляция 7/8 населения.
Мягкая изоляция выигрывает у карантина, а почти полная изоляция — статистически наиболее надежный способ остановить эпидемию. Симуляции случайные, каждое прочтение статьи даст немного разные результаты, но вывод останется прежним.
Блогер Кевин Симлер улучшил эту модель: он добавил новые вводные (например, инкубационный период и количество умерших от болезни) и параметры модели, которые можно настраивать вручную. Здесь по шагам объясняется, как распространяется вирус и какие переменные на это влияют: например, в одной из симуляций предлагается угадать, какой должна быть скорость передачи заболевания между людьми, чтобы она не успела заразить все население планеты.
Так что это не только подробное пошаговое объяснение того, как распространяется вирус, но еще и упражнение в интуиции и критическом мышлении.
Люди хотят закрытия границ (RUS)
По данным исследования Ipsos по восприятию коронавируса, большинство людей считают, что границы их стран должны быть закрыты до тех пор, пока не будет локализована эпидемия. В опросе приняли участие 12 000 человек из 12 стран. Жители Азиатско-Тихоокеанского региона активнее всех поддерживают идею закрытия границ — во главе с Индией (79%) и Вьетнамом (78%) — что неудивительно, учитывая локацию, в которой болезнь была обнаружена впервые. В Италии 76% также согласны с этой радикальной мерой. Далее следуют Китай (73%) и Россия (70%).
Растет количество человек, которые верят в вероятность заражения людей из их ближнего окружения: их уже больше половины респондентов во Вьетнаме (67%), Великобритании (57%), половина в Индии, Австралии и Японии (51%).
Что ученые знают о 2019-nCoV (RUS)
Сейчас идет разработка лекарств, которые ингибируют заражение на разных стадиях цикла репликации вируса, и вакцин от SARS-CoV/MERS-CoV. Однако пока специфических препаратов от коронавирусов нет, и лечение заключается в поддерживающей терапии, назначенной по состоянию пациента. Источник на 11 марта 2020 года.
Материал обновляется.
Судя по темпам распространения коронавирусной инфекции, в середине текущей недели во всем мире будет насчитываться более 2 млн инфицированных. Заболеваемость растет в геометрической пргрессии, и Россия — не исключение. В настоящее время страна находится в десятке по приросту числа инфицированных (в абсолютных цифрах).
По состоянию на утро, 13 апреля, в мире было зафиксировано свыше 1 млн 851 тысячи заболевших. За последние сутки прирост составил 71,3 тыс. случаев. Для того, чтобы инфицировался первый миллион человек, вирусу понадобилось 4 месяца: первый случай заболевания был зафиксирован 8 декабря 2019 года, миллион зарегистрировали 2 апреля. А второго миллиона ему удастся достичь менее чем за две недели.
Наиболее пораженные страны по количеству подтвержденных случаев (график Роспотребнадзора; включает данные по состоянию на утро 13.04.2020 во всех случаях, кроме России - в случае с Россией учтены данные за 12 .04.2020, поэтому она в график не попала).
Сейчас в абсолютных цифрах (то есть не в пересчете на 100 тысяч населения), на первом месте по числу инфицированных находятся США — там это 558 тыс. человек. Далее с большим отрывом следуют Испания — 166,8 тыс. случаев и Италия с 156,3 тыс. случаев. В этих странах зарегистрировано и наибольшее количество смертей пациентов с коронавирусом: в США это 22,1 тыс. случаев, Италии — 19,8 тыс. и в Испании 17,2 тыс.
Прирост за последние сутки (график Роспотребнадзора; включает данные по состоянию на утро 13.04.2020 во всех случаях, кроме России — в случае с Россией учтены данные за 12.04.2020).
Безусловно, оценить истинный уровень заболеваемости из-за ограниченного количества тестов невозможно. Косвенно на то, сколько именно заболевших, указывает уровень смертности (в странах, где эта статистика не скрывается). Первая смерть от коронавируса была зарегистрирована в Китае 9 января. К 19 января там уже умерли трое, 30 января — 213 человек. К тому времени в Италии были отмечены первые два случая заболевания, в США — шесть. Летальность от коронавируса 30 января оценивалась в 2,2%. В этот день, кстати, ВОЗ объявила Чрезвычайную ситуацию в области общественного здравоохранения.
Страны с наибольшей летальностью
Подтвержденные случаи заражения в России
Что касается России, пока число заболевших в стране невелико и в абсолютных цифрах, и тем более в пересчете на 100 тысяч населения: 18,3 тыс. В абсолютных цифрах страна находится на 15 месте в Европе. Умерших у нас 148.
Ежедневный прирост случаев инфицирования в России
Сложно сказать, какую роль в выявляемости инфицированных оказывает нехватка тестов и лабораторных мощностей, но динамика прироста подтвержденных случаев COVID-19 совершенно однозначно свидетельствует о том, что ситуация развивается по экспоненте. Сейчас по этой динамике — 2 тыс. 558 человек за последние сутки — одна шестая часть суши находится на 8 месте в мире, и это плохая новость. Особенно если учесть, что в большинстве стран, которые перед нами, ситуация постепенно нормализуется и кривая заболеваемости уже не так резко стремится вверх, как в России.
Текст — Оксана Ошевская, фото — Виталий Невар / Новый Калининград; использованы графические материалы Роспотребнадзора и Johns Hopkins University
Главный из них: эпидемии развиваются по экспоненте. На простом примере это выглядит так. Предположим, что каждый зараженный передает вирус только одному человеку, например, в течение одного дня. Тогда через 3 дня будет 3 пациента, через 10 дней 10 пациентов, через 100 дней - 100 пациентов. А если каждый зараженный передает вирус двум людям, и снова в течение трех дней, то через 3 дня будет 15 зараженных, через 10 дней - 2047, а через 100 дней - уже 10 в 30-й степени!
Картина впечатляет. Но жизнь вносит в эту зависимость существенные коррективы, так как она не учитывает реальность. Например, распространение вируса замедляется само по себе. Ведь те, кто уже заражен, не могут быть повторно заражены, и поэтому вероятность заражения снижается. К тому же, как правило, принимаются все более строгие меры, что сдерживает распространение инфекции.
Сегодня при составлении математических моделей одна из главных проблем - как наиболее точно определить число инфицированных. У многих еще нет никаких симптомов, однако они уже являются носителями вируса. Таких людей чрезвычайно сложно выявить. По словам сотрудника Лондонской школы гигиены и тропической медицины Штефана Флаше, при моделировании распространения вируса исходят из того, что в 10-30 процентах случаев заражения вирус передается людьми, у которых симптомы пока отсутствуют. В то же время стратегия сдерживания направлена на тех, у кого симптомы уже есть. Таким образом на многих людей, которые также являются источниками заражения, не обращают должного внимания. Возможно, это одна из причин, по которой избежать распространения коронавируса не удалось практически ни одной стране. Какое-то число случаев инфицирования остались незамеченными. Если в стране умирает первый человек, то это означает, что за две недели до этого там не заметили сто случаев заражения: ведь должно пройти некоторое время, прежде чем состояние пациента станет настолько тяжелым, чтобы он мог умереть. В течение этого периода сто инфицированных передают вирус другим людям. Если принять, что каждый заражает двоих, то после первого летального исхода в стране насчитывается уже 1000 случаев заражения.
Группа ученых Имперского колледжа Лондона во главе с известным эпидемиологом Нилом Фергюсоном оценила разные сценарии развития эпидемии, в частности, что будет, если пустить все на самотек. Кстати, в начале эпидемии ряд политиков и даже ученых утверждали, что ничего делать не надо, так как люди переболеют как при обычном гриппе и эпидемия закончится. Так вот, если вообще не предпринимать меры, по оценке британских ученых, в самом худшем случае коронавирусом только в 2020 году могут заразиться 7 миллиардов человек, а погибнуть - 40 миллионов человек (больше, чем погибло солдат во время Второй мировой войны).
Если же повсеместно внедрить жесткие карантинные меры, то можно удержать число смертей на уровне 0,2 случая на 100 тысяч населения в неделю. Тогда число жертв коронавируса может составить "всего" 1,3 миллиона человек. Но если тянуть с введением карантинов, дождавшись показателя 1,6 смерти на 100 тысяч населения в неделю, то пандемия может унести почти 10 миллионов жизней.
Что касается самой Великобритании, то худший сценарий дает гибель 500 тыс. человек, но в случае жесткого карантина цифра должна уменьшиться до 6000. Американские специалисты, смоделировав несколько вариантов развития событий, исходя из характеристик вируса, темпов его распространения и того, насколько серьезны будут введенные правительством ограничительные меры, заявили, что при худшем сценарии в течение года коронавирусом в США могут заразиться до 214 миллионов человек, умереть 1,7 миллиона. Если будут приняты ограничительные меры, число погибших к лету этого года может меняться в широких пределах: от 38 тысяч до 162 тысяч.
Оценивая разные варианты событий, математика показывает, что мир постоянно опаздывает, упуская возможность своевременно остановить атаку опаснейшей инфекции. Причем ученые обращают особое внимание, что жесточайший карантин, минимальное число контактов между людьми нужно будет поддерживать до тех пор, пока не будет создана и массово внедрена эффективная вакцина. По оценкам британцев, для этого потребуется 18 месяцев, а возможно, и больше. Если карантин ослабить, то с большой вероятностью передача вируса быстро возобновится.
Британский физик Чандра Викрамасингх еще в феврале заявил, что коронавирус попал на Землю в октябре 2019 года. Его принес метеор, который взорвался в небе, причем именно над Китаем. Более того, над районом Уханя. Ученый заявил, что метеор "содержал внутри монокультуру инфекционных частиц вируса, которые выжили во внутренней части раскаленного метеора". Зараза распространялась по планете по воздуху. Как? Физик уверен, что вирус попал в стратосферные воздушные потоки, которые разнесли его вдоль полосы между 40-60 северной широты. Кстати, все основные сильные вспышки болезни появляются именно в этом диапазоне.
Многие ученые, и прежде всего эпидемиологи, категорически не согласны с версией профессора, подчеркивая, что COVID-19 похож на другие уже известные коронавирусы. Надо отметить, что Викрамасингх ранее доказывал, что еще один коронавирус, который вызывал тяжелый острый респираторный синдром (SARS), также попал на Землю из космоса. Он зародился в Китае, над которым также взорвался метеор. В свое время физик даже написал книгу под названием "Болезни из космоса", где утверждает, что такие болезни, как ОРВИ или грипп, тоже занесены на Землю извне.
Константин Северинов, профессор Сколтеха и Университета Ратгерса США:
Сейчас в оценке коронавируса на одно из первых мест вышли математики, которые рисуют самые разные сценарии распространения болезни. Они вас убеждают?
Константин Северинов: Математические прогнозы хорошо работают задним числом на уже изученных болезнях. Например, на эпидемиях гриппа такие оценки делаются постоянно. Иная ситуация, когда речь идет о неизвестной инфекции. И нам пока мало известно, например, сколько реально заражает коронавирусом один человек, возникает ли иммунитет и сколько он держится и т.д. Когда "иксов" так много, то при моделировании инфекций даже небольшое изменение исходных данных может приводить к очень существенным изменениям результатов. И сейчас говорить, что какой-то прогноз лучше, чем другой, практически невозможно.
Нас долго убеждали, что от гриппа умирают больше, чем от коронавируса, и никто по поводу гриппа не впадает в панику.
Константин Северинов: Да, по всему миру грипп уносит многие сотни тысяч, а коронавирус пока десятки тысяч. Но так нельзя сравнивать. Летальность от гриппа на два порядка ниже, чем от коронавируса. Также ссылаются на то, что общее число смертей в той же Италии около 250 тысяч, а от коронавируса меньше десяти тысяч. Мол, прибавка мизерная на таком фоне. А из этих восьми тысяч инфицированных наверняка минимум половина пожилых, которые, наверно, умерли бы и так. Но это цифра всего за месяц, а что будет к середине лета, к концу года? Если динамика инфекций будет продолжать серьезно расти, то через небольшое время значительная часть населения планеты заболеет, а нынешний уровень летальности останется, то речь пойдет о миллионах погибших. И это уже совсем другая цифра общей смертности. Словом, чтобы делать такие серьезные выводы, нужны большие выборки.
Звучат обещания, что через 11 месяцев появится вакцина, и тогда картина распространения вируса кардинально изменится.
Константин Северинов: Сомневаюсь, что удастся так быстро создать эффективную, проверенную, сертифицированную вакцину, которая остановит эпидемию. Многие лекарства делают годами. Ведь сначала надо найти мишень для атаки вируса, скорее всего, это будет поверхностный белок вируса, который вызывает иммунный ответ. Потом надо показать, что иммунитет, который возникает в людях, действительно спасает их от болезни, а также, что он не токсичен. Причем эти исследования надо провести на большом количестве людей, чтобы набрать статистику. Потом все это сертифицировать. И только потом налаживать массовое производство, чтобы обеспечить всех и вся. Надо минимум года два.
Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) 11 марта расценила распространение коронавируса как пандемию. Случаи инфицирования зафиксированы более чем в ста странах, включая Россию. Всего в мире, по данным ВОЗ, заразилось более 118 тыс. человек, около 4,3 тыс. умерли. Мы выбрали наиболее интересные мнения мировой прессы о том, с какими последствиями мы можем столкнуться из-за заболевания.
The Washington Post: "Мы все уязвимы для коронавируса, так как не существует вакцины, чтобы защитить нас. Вирус может распространяться при кашле, поэтому рекомендация держаться друг от друга на расстоянии имеет смысл. Но диктовать, каким образом и куда люди могут перемещаться, правительствам сложно, особенно в демократических странах. Правительства должны быть осторожны, чтобы не задушить общество, пытаясь спасти его. Ограничения должны основываться на доказательствах и логике, а не на страхе. Непонятно, как ограничения на въезд в страну жителей Европы (за исключением британцев), о которых объявил президент Дональд Трамп, отвечают этим критериям. Вирус уже в США. И теперь следует призывать избегать толп, воздерживаться от концертов и смириться с закрытыми школами, однако следует разрешить людям покупать продукты, посещать врачей или своих родственников. Товары и материалы должны поступать в магазины".
The Washington Examiner: "Коронавирус закроет все в вашей жизни. Скоро закроются школы, куда ходят ваши дети. Скоро ваш работодатель скажет "работай из дома", а потом это превратится в "приходи, только если понадобится". Людей, которых вы знаете, уволят, потому что их боссы не хотят, чтобы люди приходили на работу. Может быть, перестанут ходить автобусы и работать метро. Грядущее воскресенье может стать вашим первым днем за многие годы, когда вы пропустите службу в церкви, потому что ее закроют. На каждом крупном публичном мероприятии — игре НХЛ, параде, конференции, акции протеста, мессе — есть вероятность распространения вируса. Детские сады закроются. Авиарейсы будут отменены. Вам не разрешат навестить маму или бабушку в доме престарелых. Может быть, такие шаги — чрезмерная реакция. Может быть, вирус не так уж и опасен. Но возврата уже нет".
Foreign Policy: "Несмотря на вероятность того, что большинство людей никогда не заразится вирусом, а подавляющее большинство инфицированных выживет, население и правительства реагируют на вспышку заболевания радикальным образом. Некоторые из принимаемых мер нелепы — например, ношение хирургических масок. Некоторые неразумные ответные меры на вирус начали пагубно влиять на нашу жизнь и экономику несмотря на то, что они никак не помогут в деле борьбы с пандемией. Пока нет никаких признаков того, что наши лидеры делают правильные выводы, признавая истинный масштаб проблемы и координируя свои шаги. И это пугает".
The New York Times: "Заявление президента Трампа [о запрете на въезд в страну жителей Европы] прозвучало в тот момент, когда вирус обрушил фондовые рынки, заставил Национальную ассоциацию студенческого спорта запретить посещение болельщиками своего ежегодного баскетбольного турнира. Школы, университеты, компании, театры и стадионы закрыли свои двери. Лавина таких объявлений кажется поворотным моментом в нынешнем кризисе, когда стало очевидным его непосредственное влияние на повседневную жизнь людей в США и во всем мире. Во многих местах жизнь не будет прежней в обозримом будущем, пока общество приспосабливается к новой реальности, которая влияет на все, включая мировую экономику и обыденные контакты между людьми. Трамп и другие мировые лидеры пытаются отыскать выход".
CNN: "Заявление Трампа сразу вызвало замешательство. Решение запретить въезд в страну европейцам было принято без консультаций с туристической отраслью или союзниками США и, похоже, приведет к серьезным последствиям, которые увеличат нарастающий ущерб экономике. Главная проблема — вирус уже проник на территорию США и распространяется. Трамп призвал отказаться от посещения домов престарелых — именно пожилые люди находятся, прежде всего, в группе риска. Но он не объяснил, какие меры намерен принять, чтобы снять опасения медиков, связанные с возможной нехваткой мест в больницах, недостаточным количеством устройств для экспресс-анализа на коронавирус или ожидаемым ростом потребности в аппаратах искусственной вентиляции легких, которые необходимы для поддержания жизни в наиболее тяжелых случаях заболевания".
NBC: "Трамп на протяжении недель настаивал, что вспышка заболевания находится под контролем, представляя ситуацию в гораздо более розовых тонах, чем его же эксперты. Но медики подняли тревогу, предупреждая американцев, что ситуация, вероятно, ухудшится, прежде чем произойдет улучшение".
Великобритания
The Daily Telegraph: "Министры надеются, что предоставление значительных сумм частному бизнесу, в том числе на покрытие расходов на больничные для компаний, работникам которых необходимо время на самоизоляцию, приведет к тому, что эти сотрудники более охотно пойдут на такой шаг. В ситуации, когда число подтвержденных в Великобритании случаев заболевания подскочило за один день более чем на 20% (до 456 человек), представленный в среду бюджет был нацелен на то, чтобы гарантировать применение этих мер в надежде, что они помогут передвинуть эпидемию на лето.
В связи с пандемией COVID-19 по сети бродит масса довольно наивных концепций о моделировании эпидемий. Попробуем разобраться. Мы только рассмотрим математические методы моделирования заразных болезней, касаясь медицины и биологии лишь когда требуется прикинуть какой-нибудь параметр.
Экспонента или сигмоида?
Простейшее рассуждение – распространение вируса по экспоненте. Классическая математика из программы средней школы: геометрическая прогрессия, задачка о рисе на шахматной доске, и тому подобное. Пусть каждый инфицированный каждый день заражает, например, rexp=2 человек. В нулевой день, один инфицированный: бабушка с рынка. В первый день, три инфицированных: бабушка, внук и внучка (внук плюс внучка – это 2, то есть rexp). Помним, что смертей и вообще симптомов наш вирус не вызывает, оттого ни бабушка, ни внуки, ни окружающие не знают, что у них вирус. Во второй день, девять инфицированных: бабушка, её внуки, родители внуков, четыре одноклассника внуков в школе. Ну и так далее. На 21-й день число заражённых превысит всё население Земли: (rexp+1)²¹ = 3²¹ = 10.5 млрд.
Ясно, что геометрическая прогрессия неплохо работает в начальном периоде распространения вируса, но затем начинает выдавать сильно завышенные результаты. Мы попробуем решить задачку не в лоб, а правильно. Как её решают в университетах, а не в школах.
Прирост числа инфицированных I (infected) от времени записывается обыкновенным дифференциальным уравнением:
Достаточно проверить решение прямой подстановкой выражений <2>, <3>в уравнение <1>.
Тождество левой и правой частей очевидно при любом t₀. Точка t₀ – это точка максимума функции Хабберта, её мы будем подбирать из граничных условий. Мы знаем, что в нулевой день t=0 инфицирована только старушка с рынка. Значит,
Максимум заразившихся будет на 23-й день. По формуле <3>, в эти критические сутки заразится:
Последний не заразившийся (вообразим такого охотника-одиночку из племени Умба-Юмба) будет на 2t₀, то есть в нашем случае примерно на 46-й день распространения вируса по планете. Доказываем аналитически:
Каждый может проверить, что функция Хабберта – симметрична относительно точки t₀. Теперь нарисуем два графика: нашу сигмоиду и экспоненту. Легко обнаружить, что первые несколько дней экспонента и сигмоида близки. Если I много меньше P, то:
Экспонента у нас была с параметром rexp = 2, для сравнения положим r = ln(2+1) ≈ 1.1. Тогда t₀ = ln(7.8·10⁹)/1.1 ≈ 20.7.
Вплоть до 10-го дня распространения вируса (отсчёт с нуля, а не с единицы), сигмоида и экспонента идут нос-к-носу. На 11-й день, по экспоненте получается 3¹¹=177'147, a по сигмоиде 177'143. Далее экспонента безудержно и навсегда обгоняет сигмоиду. На 18-й день разница уже примерно 18 миллионов, или 5%. В последний, 42-й день, распространения вируса, 7.8 миллиарда заразных гоняют по всей планете одного-единственного незаразного (того охотника-одиночку из Умба-Юмба). Экспонента в этот день где-то в космосе: 10²º человек.
В конце периода распространения вируса экспонента не работает по определению; там миллиарды триллионов не существующих заражённых. Сигмоида может работает примерно до момента, когда осталось несколько тысяч незаразных. Всех до последнего человека вам не заразить, даже если очень стараться. Полковник Пупкин! Оставайтесь в бункере!
Вообще мы не знаем вирусов, способных заразить всё население планеты за месяц-два.
Во-первых, если такие и были, то проявить свою сущность могли лишь примерно с середины XX века, когда стал общедоступным авиатранспорт. До этого, к племени Умба-Юмба надо плыть месяц на пароходе, потом ехать на слонах по джунглям две-три недели. Приехали заражать последнего, а племя говорит: наш одинокий охотник ушёл! То ли на север, то ли вверх по Замбези.
Полагая, что вирус скрытный, и человек против него никаких мер не принимает, прикинем, очень грубо, реалистические значения r для случая, если заражённые всю жизнь заразны. Пусть вирус втихаря захватывает планету за два года, то есть t₀=365. Из формулы <4>: r = ln(7.8·10⁹) / 365 = 0.06. Если распространение вируса началось, скажем, 1 января, то первый миллион заражённых будет во второй половине августа, а первый миллиард (заметим ещё раз, они не знают, что заражены, симптомов нет) – в конце сентября того же года. Последний миллион не заражённых останется в июле следующего года.
Конечно, с реальными вирусами всё происходит куда медленнее. Не пугайтесь! Сейчас попробуем сделать наш учебно-тренировочный вирус чуть более реалистическим. Дырочку в стволе оставим.
Базовое репродукционное число.
По данным ВОЗ [1], инкубационный период COVID-19 – от 1 до 14 дней, в среднем 5-6. У нашего учебно-тренировочного вируса сделаем такой же. Примерно три недели после инфицирования человек становится не заразен.
Кривая работает так. Если, скажем, 31 декабря 1000 человек заразилось вирусом, то 1 января заразных среди них нет. К 5 января примерно 300 будут заразными, а 700 – пока нет. Восьмого января примерно 900 заразных. На 21 день заразных среди этой тысячи будет около 20. На 30-й день заразных нет.
Конечно, раз на раз не приходится. У всех возбудителей свои кривые. Кривая выше – просто одна из бесконечного множества вариантов. Числовой пример. Я искал, но не нашёл реальных данных по COVID-19; статьи пока не опубликованы. По всем параметрам моя кривая удовлетворяет отчёту ВОЗ [1], но там только опорные циферки, без картинок.
Уравнение <1>теперь записывается как система:
Здесь C(t) – количество заразных (contagious), S(t) – количество людей, которые могут заразиться вирусом (susceptible).
Переменное репродукционное число. Дистанцирование.
В Интернете модно выдавать страждущим примерно вот такие советы (писано вроде 13 марта):
Поглядим на формулу <7>. Интеграл заразности зависит в основном от биологии вируса и биологии человека; он примерно постоянен. А вот трансмиссивность r зависит от:
Скорости воспроизводства вируса в организме больных. Скажем, COVID-19 быстрее размножается (поражает больше клеток в единицу времени) у людей пожилых.
Способа распространения вируса. Скажем, COVID-19 распространяется в основном воздушно-капельным путём.
Устойчивости вируса во внешней среде.
Погодных условий. Например, при сильной инсоляции вылетевший наружу коронавирус остаётся опасным считанные секунды. Ультрафиолет корёжит РНК.
Социальных привычек населения. Принято ли у вас мыть руки после уборной?
Местного этикета. Принято ли в вашей стране целоваться при знакомстве или можно пожать руку? А целоваться со знакомыми при каждой встрече?
Вида занятости населения. Офисы или шахты? А может, ювелирные мастерские? Сколько человек трудится вместе? Есть ли профессиональные лёгочные заболевания?
Может ли заболевание передаваться животными? Насекомыми? В какое время года они активны?
Если спросите у квалифицированного эпидемиолога, он в этот список накидает ещё пару сотен пунктов.
Разные значения R₀ могут быть даже в одном городе, но в разных слоях общества. Торговцы с рынка в Ухане имеют немного другие гигиенические привычки и условия труда, чем программист или разработчик печатных плат из того же индустриального мегаполиса. То, что в Китае в среднем получилось 2.0-2.5, совсем не значит, что в среднем по миру будет 2.3. Может быть и больше, и меньше.
Если у болезни появляются какие-то неприятные симптомы, в дело вступает дистанцирование (distancing), начинающее давить R до значений существенно меньше R₀.
Если человек весь фиолетовый, он вызывает закономерное любопытство. Очень быстро, дней через 5-7, люди замечают, что почти всякий, кто близко с фиолетовыми пообщался, сам становится фиолетовым. Хотя болезнь довольно быстро проходит, и никто не умирает, население быстро сделает определённые выводы, и фиолетовых будут сторониться. При том, сами фиолетовые не будут лишний раз контактировать со здоровыми, стесняясь симптомов заболевания (ну и не желая заражать других). Это и есть дистанцирование.
Незнание микробиологии не помеха. Люди сделали достаточно достоверные выводы про лёгочную форму чумы, туберкулёз и сифилис, не зная ни микроскопа и генетики, ни вообще о бактериях и вирусах. Даже для болезней с огромным инкубационным периодом, типа лепры, во многих обществах было чёткое понимание, что лишний раз с больным лучше не контактировать, а после контакта надо руки помыть. И раздавали прокажённым одновременно и милостыню, и колокольчики.
Для численного примера пока предположим, что для вирусоносителя без симптомов остаётся параметр RN=R₀, а для явно заболевших – он вдвое ниже, RS=R₀/2. При этом, ни о какой изоляции заболевших речи нет. Заболев, фиолетовые просто уменьшают количество своих дневных контактов в среднем вдвое: на улицу выходят реже, на работу не ходят, сидят по домам. Выше мы уже договорились, что на 30-й день переболевший полностью не заразен, значит, после исчезновения фиолетовой сыпи может безопасно вернуться в общество. Система уравнений переписывается так:
Здесь M(t) – количество явных больных. CS(t) и CN(t) – число вирусоносителей с симптомами и вирусоносителей без симптомов, соответственно.
Выбранное нами социальное (применяемое населением добровольно, без армии, полиции, законов, и т.п.) дистанцирование с RS = 2.30/2 = 1.15 – это даже не полумера; эпидемию тормозит, но не останавливает. А мы такое значение тут специально; если поставить Rs вблизи 1, то миллиардов заражённых никак не получится, график превратится в прямую линию!
Категория
Значение
Диапазон
Смертность в мире до 65 лет, абсолютные за год
Читайте также: