Экспоненциальный рост числа инфицированных

Детектив: откуда взялся COVID-19 и как перемещается (ENG)

Демография имеет значение (ENG)

Поскольку летальность COVID-19 значительно увеличивается с возрастом пациента, особенности возрастных структур населения могут оказывать значительный эффект на общую смертность от пандемии коронавируса. Демограф Илья Кашницкий оценил этот эффект и отобразил на карте различия в возрастных структурах населения регионов Европы.

За основу взяли данные о летальности пандемии в Италии — первой европейской стране, где ситуация начала развиваться очень быстро, и к 17 марта было зафиксировано уже 2003 смерти. Предположив, что во всех прочих регионах Европы летальность будет такой же как мы наблюдали в Италии, а общее число инфицированных достигнет 2/3 населения (цифра, о которой упоминала в своем обращении Ангела Меркель), рассчитали долю населения с повышенным риском умереть от пандемии. Надо отметить, что эта величина не претендует на роль сколько-нибудь точного прогноза финальной летальности. Допущения при расчетах очень значительны и маловероятны в долгосрочной перспективе. Однако, суть исследования — в сравнении возрастных структур населения. Различия между ними останутся неизменными, даже если повозрастная летальность от COVID-19 окажется существенно отличной от наблюдаемых сейчас в Италии величин, важно лишь, чтобы различия между возрастными группами оставались схожими.

Проведенный анализ позволяет выявить потенциально наиболее уязвимые регионы. Наибольшие потери населения из-за пандемии вероятны в странах и регионах с наиболее возрастным населением — Италия, Германия и Испания. Самый интересный вывод: несмотря на то, что сейчас наибольшее количество зарегистрированных случаев заражения и смертей концентрируется в больших городах, куда вирус пришел раньше, при масштабном неконтролируемом распространении наиболее проблемными станут отдаленные периферийные районы с наиболее пожилым населением. Это еще одна причина, почему карантинные меры, призванные растянуть во времени пик пандемии, чрезвычайно важны, особенно в странах Европы с относительно старым населением.

Источник: Kashnitsky, I. (2020). COVID-19 in unequally ageing European regions. OSF Preprint.

Экспоненциальный рост и эпидемии (ENG, RUS)

Математик объясняет, в какой момент нужно начинать беспокоиться. Эпидемия развивается экспоненциально — это значит умножение на какую-то константу (постоянный коэффициент).

Согласно данным на начало марта число случаев каждый день превышало число случаев в предыдущий день в 1,12—1,25 раз. Изменение количества зараженных изо дня в день складывается из трех цифр: количество зараженных в определенный день (N), среднее количество человек, с которым зараженный может контактировать в определенный день (E), и вероятность каждого контакта стать новым случаем заражения (p). Соответственно, по данным на 6 марта, в среднем каждые 16 дней количество зараженных увеличивалось в 10 раз. Но просто провести восходящий тренд недостаточно: в какой момент рост кривой должен остановиться. И важную роль начинают играть переменные E и p — они должны снижаться, чтобы остановить экспоненциальный рост.

Интерактивная модель: как распространяется вирус (ENG)

У The Washington Post вышел интерактивный материал о том, как распространяются инфекции. Основная идея — показать, почему важно ограничивать контакты каждого конкретного человека с внешним миром, а вот закрывать города и страны совсем необязательно. Симуляции показывают, как изменяется кривая количества зараженных в зависимости от того, какая стратегия используется: не делать ничего; попытка закрыть город на карантин; социальная изоляция четверти населения; социальная изоляция 7/8 населения.

Мягкая изоляция выигрывает у карантина, а почти полная изоляция — статистически наиболее надежный способ остановить эпидемию. Симуляции случайные, каждое прочтение статьи даст немного разные результаты, но вывод останется прежним.

Блогер Кевин Симлер улучшил эту модель: он добавил новые вводные (например, инкубационный период и количество умерших от болезни) и параметры модели, которые можно настраивать вручную. Здесь по шагам объясняется, как распространяется вирус и какие переменные на это влияют: например, в одной из симуляций предлагается угадать, какой должна быть скорость передачи заболевания между людьми, чтобы она не успела заразить все население планеты.

Так что это не только подробное пошаговое объяснение того, как распространяется вирус, но еще и упражнение в интуиции и критическом мышлении.

Люди хотят закрытия границ (RUS)

По данным исследования Ipsos по восприятию коронавируса, большинство людей считают, что границы их стран должны быть закрыты до тех пор, пока не будет локализована эпидемия. В опросе приняли участие 12 000 человек из 12 стран. Жители Азиатско-Тихоокеанского региона активнее всех поддерживают идею закрытия границ — во главе с Индией (79%) и Вьетнамом (78%) — что неудивительно, учитывая локацию, в которой болезнь была обнаружена впервые. В Италии 76% также согласны с этой радикальной мерой. Далее следуют Китай (73%) и Россия (70%).

Растет количество человек, которые верят в вероятность заражения людей из их ближнего окружения: их уже больше половины респондентов во Вьетнаме (67%), Великобритании (57%), половина в Индии, Австралии и Японии (51%).

Что ученые знают о 2019-nCoV (RUS)

Сейчас идет разработка лекарств, которые ингибируют заражение на разных стадиях цикла репликации вируса, и вакцин от SARS-CoV/MERS-CoV. Однако пока специфических препаратов от коронавирусов нет, и лечение заключается в поддерживающей терапии, назначенной по состоянию пациента. Источник на 11 марта 2020 года.

Материал обновляется.

Мы — специалисты по анализу данных, а значит, наша задача — понять, как анализировать и интерпретировать данные. И когда мы анализируем данные о COVID-19, мы беспокоимся всё больше и больше. Наиболее уязвимые слои общества, такие как пожилые и небогатые люди, подвергаются наибольшему риску. Но контроль над распространением и воздействием болезни требует изменения поведения от всех. Мойте руки тщательно и регулярно, избегайте толп и вообще скоплений людей, отменяйте мероприятия и не прикасайтесь к лицу. В этой заметке мы объясним, почему мы начали беспокоиться, и вы уже должны тоже. Отличный обзор от Итана Элли (Ethan Alley), главы некоммерческой организации, которая разрабатывает технологии для снижения рисков, связанных с пандемиями, со всей необходимой основной информацией вы можете найти по ссылке Corona in Brief (по-английски).

Чуть более 2 лет назад одна из нас (Рейчел, Rachel Thomas) подхватила инфекционный менингит, который убивает около четверти заразившихся людей и вызывает хронические когнитивные нарушения у трети. У остальных нередко возникают хронические нарушения слуха или зрения.

К моменту, когда Рейчел ползла по больничной парковке, она уже едва ли была в сознании. К счастью ей оперативно удалось получить помощь, диагностику и лечение. Незадолго до этого у Рейчел не было никаких проблем со здоровьем. Быстрый доступ к неотложной помощи, скорее всего, спас ей жизнь.

Теперь давайте поговорим о COVID-19 и о том, что может случиться в ближайшие недели и месяцы с людьми в ситуации, похожей на ту, что произошла с Рейчел. Число людей, у которых диагностирован COVID-19, удваивается каждые 3—6 дней. Если удвоение числа заражённых происходит за три дня, это означает, что число инфицированных может увеличиться в 100 раз за три недели (скорость роста немного сложнее, чем мы её тут описали, но не будем отвлекаться на технические детали). Каждый десятый инфицированный нуждается в госпитализации на несколько недель, и большинству из них требуется искусственная вентиляция лёгких. И хотя вирус появился относительно недавно, в некоторых регионах больницы уже переполнены настолько, что люди не могут получать необходимое им лечение (и не только в случае COVID-19, но и с другими смертельно опасными заболеваниями, в частности с тем, которым страдала Рейчел).

Например, в Италии, где всего неделю назад власть утверждала, что всё в порядке, сейчас заблокированы шестнадцать миллионов человек (обновлённая информация: через 6 часов после публикации [оригинального материала] Италия закрыла всю страну на карантин). В стране устанавливают палатки, такие как на фотографии, чтобы справиться с наплывом пациентов:

Медицинская палатка в Италии.

Смертность от гриппа составляет около 0,1 %. Марк Липсич (Marc Lipsitch), директор Центра динамики инфекционных заболеваний (Center for Communicable Disease Dynamics) в Гарварде (Harvard University), оценил этот показатель для COVID-19 в 1—2 %. Недавнее моделирование хода эпидемии показало, что в феврале уровень смертности в Китае составил 1,6 %, то есть в шестнадцать раз выше, чем для гриппа [1] (и эта оценка довольно консервативна, поскольку показатель смертности возрастает, когда медицинская система не справляется с наплывом пациентов). Оптимистичные оценки предполагают, что в этом году от COVID-19 погибнет в 10 раз больше людей, чем от гриппа (а моделирование Елены Гривал (Elena Grewal), бывшего директора по анализу данных в Airbnb, показывает, что в худшем случае показатель может оказаться в 100 раз больше такой оценки). И в этих оценках ещё не учтено огромное давление на медицинскую систему, вроде того, что описано выше. Конечно, некоторые люди пытаются убедить себя, что не происходит ничего нового: болезнь похожа на грипп — они это делают, потому что сложно принять для себя, что в реальности эта болезнь новая и незнакомая.

Наш мозг по природе своей не способен интуитивно понять экспоненциальный рост числа инфицированных. Поэтому мы должны анализировать данные, используя науку, а не интуицию.

Какие значения будут через две недели? А через два месяца?

Обратите внимание: R0 не является фундаментальным свойством самого заболевания. Этот показатель сильно зависит от принимаемых мер, и он может меняться со временем [2]. В частности, в Китае R0 для COVID-19 значительно снизился и сейчас уже приближается к отметке 1,0! Как, спросите вы? С помощью применения мер в масштабах, которые трудно представить в такой стране, как США. Например, это полная изоляция некоторых огромных городов и разработка метода тестирования, который позволяет проверять более миллиона человек в неделю.

• Либо это широкомасштабная и действенная реакция сообщества,
• Либо настолько большой процент людей уже были заражены, что незатронутых людей становится численно меньше, поэтому инфекции негде набирать ход.

Ещё одна вещь, препятствующая интуитивному пониманию того, как COVID-19 может затронуть ваш регион, заключается в том, что между заражением и госпитализацией — существенный промежуток времени. Обычно это около 11 дней. Может показаться, что это не так много, но если посмотреть на количество людей, которые будут заражены за это время, всё становится серьёзнее. К моменту, когда вы заметите, что больницы переполнены, инфекция в вашем сообществе распространится уже настолько, что вокруг вас будет в 5—10 раз больше заражённых людей, с которыми вам придётся, так или иначе, иметь дело.

• Избегать больших скоплений людей и толпы;
• Отменить мероприятия;
• Работать из дома, если это возможно;
• Мыть руки, когда приходите и уходите из дома, а также делать это часто, когда находитесь вне дома;
• По возможности не прикасаться к лицу, особенно вне дома (хоть это и нелегко);
• Дезинфицировать поверхности и упаковку (вирус с ненулевой вероятностью может оставаться активным на поверхностях в течение 9 дней, хотя точно этого сказать нельзя).

Если вам меньше 50 лет и у вас нет факторов риска — иммунная система работает исправно, нет сердечно-сосудистых заболеваний или других хронических заболеваний, вы в прошлом не курили — тогда можете расслабиться, скорее всего коронавирус вас не убьёт. Но то, какова будет ваша реакция, всё-таки очень важно. В отличие от вероятности умереть, у всех более-менее равный шанс подхватить вирус, и, если это случится, то равный шанс заразить других. В среднем, каждый инфицированный человек заражает ещё двух человек, и они становятся заразными до того, как начнут проявляться симптомы. Если вы планируете навестить родителей или бабушку с дедушкой, вы, наверное, расстроитесь, если потом обнаружите, что заразили их коронавирусом.

Даже если вы не общаетесь с людьми старше 50, вполне вероятно, что у вас есть коллеги и знакомые с хроническими заболеваниями, и их больше, чем вы думаете. Исследования показывают, что, опасаясь дискриминации, многие люди на работе не рассказывают о состоянии здоровья, если могут этого избежать. Например, мы оба (авторы статьи) — в категории повышенного риска, хотя многие люди, с которыми мы регулярно общаемся, могут об этом не знать.

И, конечно же, нужно думать не только о близких и коллегах. Это очень важный этический вопрос. Каждый человек, который предпринимает все возможные меры по борьбе с распространением вируса, помогает всему местному сообществу снизить уровень вероятности заражения. Цитируя статью Зейнеп Туфекчи (Zeynep Tufekci) для журнала Scientific American:

Подготовка к почти неизбежному глобальному распространению этого вируса… является одной из самых просоциальных, альтруистических вещей, которые вы можете сделать. Мы должны готовиться к наступлению вируса не потому, что чувствуем, что нам лично угрожает опасность, но потому что это поможет снизить риск для всех; не потому, что мы столкнулись со сценарием конца света, и не можем повлиять на ход вещей, а потому что мы можем изменить каждый аспект этого риска, с которым мы, общество, сталкиваемся. Правильно, вы должны готовиться, потому что ваши соседи нуждаются в том, чтобы вы были готовы — особенно ваши пожилые соседи, соседи с хроническими заболеваниями, люди, которые работают в больницах, соседи, у которых может не оказаться ресурсов или времени, чтобы подготовиться.

Эпидемия повлияла и лично на нас [авторов статьи]. Самый большой и важный курс, созданный нами за всю историю fast.ai, кульминация многолетней работы, должен был начаться в Университете Сан-Франциско (University of San Francisco) через неделю. В прошлую среду (4 марта) мы приняли решение провести этот курс онлайн. Мы одними из первых решили перенести такой крупный курс в онлайн-пространство. Почему мы это сделали? В начале прошлой недели мы осознали, что если мы станем проводить этот курс в аудитории, то будем косвенно поощрять собрания сотен людей в замкнутом пространстве, повторяющиеся многократно в течение многих недель. Собирать людей в замкнутых пространствах — самое худшее, что можно сделать в данной ситуации. Мы решили, что это наша этическая обязанность — обеспечить, чтобы хотя бы в нашем случае этого не произошло. На это было сложно пойти. Тот период учебного года, когда мы занимались с нашими студентами, один из самых любимых и продуктивных. У нас были студенты, планировавшие приехать из разных стран, и мы очень не хотели их подводить [3].

Но мы знали, что то, что мы делаем — это правильно, потому что в противном случае мы могли бы ускорить распространение болезни в нашем окружении [4].

Важно оставаться под пунктирной линией.

Вот как может выглядеть статистика согласно Лиз Шпехт (Liz Specht):

В США на 1000 человек приходится около 2,8 больничных коек. Учитывая, что население — 330 млн человек, это около 1 млн коек. 65 % их этих мест постоянно заняты. Таким образом, по всей стране доступно около 330 тысяч свободных коек (возможно, в это время года даже немного меньше из-за регулярного сезонного гриппа и т. д.). Возьмём за основу статистику Италии и предположим, что около 10 % случаев будут достаточно серьёзными и потребуют госпитализации. (Имейте в виду, что для многих пациентов госпитализация длится неделями — а значит освобождаться места будут очень медленно, так как кровати заполняются пациентами с COVID-19). Таким образом, к 8 мая все свободные больничные койки в США будут заполнены. (И это ещё не принимая во внимание, подходят ли эти места для изоляции очень заразных пациентов).

Даже если мы ошиблись в два раза в оценке доли тяжёлых случаев, это изменит график заполняемости коек на 6 дней, что в одну, что в другую сторону. Если госпитализация требуется в 20 % случаев, места в больницах закончатся к 2 мая. Если только в 5 % — мы можем дотянуть до 14 мая. 2,5 % позволят нам продержаться до 20 мая. Этот расчёт не учитывает роста спроса на койки по другим причинам (не из-за COVID-19), а мы этого не можем гарантировать. По мере того, как нагрузка на систему здравоохранения становится всё больше и больше, с нехваткой рецептурных препаратов и пр. люди с хроническими заболеваниями, которые обычно нормально себя чувствуют при постоянной адекватной терапии, могут оказаться в тяжёлом состоянии, требующем госпитализации и интенсивной терапии.

Как мы уже говорили, эти цифры не являются неоспоримыми — Китай уже продемонстрировал, что можно сократить распространение вируса, приняв экстремальные меры. Другим отличным примером успешного реагирования является Вьетнам, где, среди прочего, общенациональная рекламная кампания (в том числе запоминающаяся песня!) быстро мобилизовала население и обеспечила изменение поведения людей на более подходящее в этих условиях.

Изменение поведения — не просто гипотеза: эффективность этой стратегии была продемонстрирована во время пандемии гриппа 1918 года. Два города в США очень по-разному отреагировали на пандемию: в Филадельфии прошёл гигантский парад с участием 200 000 человек, чтобы помочь собрать деньги на войну. А в Сент-Луисе внедрили тщательно продуманные меры, призванные минимизировать социальные контакты, чтобы уменьшить распространение вируса, а также отменили все крупные события. Вот как выглядит число погибших в каждом городе, как показано в материалах Национальной академии наук США:

Влияние различных мер во время пандемии гриппа в 1918 году.

Ситуация в Филадельфии стала настолько тяжёлой, что гробов и моргов не хватало, чтобы обработать огромное количество тел людей, погибших от гриппа.

Пожилые люди и инвалиды подвергаются особому риску, когда нарушается их повседневная жизнь, когда начинаются проблемы с системой поддержки. Людям, у которых нет лёгкого доступа к медицинской помощи, в том числе сельским жителям и представителям коренных общин, может потребоваться преодолевать огромные расстояния, чтобы получить помощь, если таковая потребуется. Люди, живущие в стеснённых условиях — будь то в социальном жилье, домах престарелых, тюрьмах, приютах или даже бездомные на улицах — могут заболевать волнами, как уже происходило в штате Вашингтон. Уязвимость низкооплачиваемой гиг-экономики, в которой у работников сдельная оплата и нестабильный график, станет очевидной для всех во время этого кризиса. Спросите у 60 % работников США, которые получают почасовую оплату, насколько им легко взять отпуск, когда он необходим.

Бюро трудовой статистики США показывает, что менее трети работников с минимальным доходом могут взять оплачиваемый больничный:

Большинство бедных американцев не могут взять больничный, поэтому вынуждены выходить на работу.

Собранная нами статистика говорит о том, что реакция в США на COVID-19 и вызываемое им заболевание COVID-19 была невероятно медленной, особенно по сравнению с другими развитыми странами. Центры по контролю и профилактике заболеваний США восемь дней назад подтвердили, что вирус уже передавался обществом (community transmission) в США — что он заражал и американцев, которые не ездили за границу и не общались с другими, кто ездил. В Южной Корее более 66 650 человек прошли тестирование в течение недели после первого случая передачи вируса внутри общества, и они быстро смогли начать тестировать по 10 000 человек в день.

Если доступна верная информация, принимаются правильные государственные меры, согласованные с тем, что говорит медицинское и научное сообщество, то мы непременно столкнёмся с проблемами, подобными тем, как при эпидемии ВИЧ / СПИД, и в случае с COVID-19. Если же в обществе под влиянием политических интересов распространяется дезинформация, существует реальный риск, что положение дел изменится в худшую сторону. Так будет, если перед лицом набирающей обороты пандемии не начать действовать быстро и решительно, а также если активно поощрять поведение, которое фактически способствует более быстрому распространению болезни. Очень больно смотреть на то, как развивается эта ситуация.

Когда дело доходит до прозрачности, не похоже, чтобы политические силы были заинтересованы в изменении ситуации. Министр здравоохранения и социальных служб (Health and Human Services Secretary) Алекс Азар (Alex Azar), по словам издания Wired, «…рассказал о тестах для определения наличия коронавирусной инфекции, которые должны использовать медработники. Отсутствие таких тестов обусловило то, что нет эпидемиологической информации о распространении и серьёзности эпидемии в США. Это всё усугубляется непрозрачностью управленческих решений. Азар добавил, что больше тестовых наборов уже проходят испытания на качество и скоро будут доставлены в больницы”. Wired продолжает:

Другие страны реагируют гораздо быстрее и активнее, чем США. Многие страны Юго-Восточной Азии показали отличные результаты, в том числе Тайвань, где R0 сейчас снизился до 0,3, и Сингапур, который предлагают сделать модельной страной по вопросу борьбы с COVID-19. Хорошо реагируют не только в Азии: во Франции, например, запрещены собрания с участием более 1000 человек, и в настоящее время в трёх регионах страны не работают школы.

COVID-19 является важной социальной проблемой, и мы можем и должны все работать в направлении уменьшения распространения болезни. Это означает, что нужно:

• Избегать больших групп и толп;
• Отменить мероприятия;
• Работать из дома, если это возможно;
• Мыть руки, когда вы приходите и уходите из дома, и часто, когда вы вне дома;
• По возможности не прикасаться к лицу, особенно вне дома.

Примечание: из-за срочности публикации мы не были настолько щепетильны в отношении цитирований и сносок на работы, на которые мы опирались, как хотелось бы. Пожалуйста, дайте нам знать, если мы что-то упустили.

Спасибо Сильвену Гуггеру (Sylvain Gugger) и Алексису Галлахеру (Alexis Gallagher) за отзывы и комментарии.

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N ). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений — число смертей

(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть d N — число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N ₀ — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

d N = rN(1 — ( N / K )) dt

Когда N намного меньше K , членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K , значение 1 — ( N / K ) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерры, уравнение Лотки—Вольтерры. (Вито Вольтерра, 1860–1940 — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

• 
  

Армения. Ереван. Дезинфекция автобуса перед его выходом в рейс. Спецобработка состоит из помывки автобуса снаружи, сухой и влажной уборки салона, а также аэрозольной обработки

Артур Арутюнян/Пресс-служба администрации Еревана

Распространение вируса COVID-19 идет по нисходящей пока лишь в нескольких странах. На прошлой неделе в Италии темпы прироста ежедневного числа заболевших впервые начали снижаться, это вселило оптимизм. Масштаб эпидемии и темпы роста числа заболевших отличаются, страны вступают в острую фазу последовательно. Например, в России число заболевших перевалило за тысячу только 27 марта — через месяц после Италии и через 18 дней после Германии и Испании. Так, в Германии 9 марта было всего 1040 случаев коронавируса, а в день выявляли немногим более ста новых заболевших, но уже к 20 марта количество ежедневных случаев превысило четыре тысячи, а всего больных стало больше двадцати тысяч. Теперь, когда в Италии темпы роста эпидемии начали медленно снижаться, в остальных странах ЕС пик заболеваемости еще впереди, хотя уже близок. Ход эпидемии имеет три фазы: резкий прирост, стабилизация (достижение пика заболеваемости) и начало угасания. Опыт первых в очереди стран Европы показал, что фаза роста занимает не менее четырех недель, и это позволяет оценить перспективы развития эпидемии, в том числе в России.

Мы попытались разобраться в основных подходах к моделированию эпидемии и выделить главные факторы, оказывающие влияние на ее продолжительность. Анализ показывает, что при оптимистическом сценарии эпидемия в Европе должна пойти на убыль к маю, но в мировом масштабе может продлиться до осени. При негативном сценарии — более года. В основе моделирования лежат уже известные свойства вируса и статистика заболевших.

Распространение коронавируса зависит от двух групп факторов. Первые связаны непосредственно со свойствами COVID-19 — его устойчивостью, заразностью, инкубационным периодом. Вторая группа — внешние условия, зависящие от здоровья населения, систем здравоохранения, климата и, главное, мер реагирования, принятых властями. Все они должны учитываться при прогнозировании. На начальных этапах эпидемии ее распространение идет по экспоненте, то есть каждые N дней (чем хуже ситуация, тем N меньше) количество больных удваивается. Например, в США 16 марта было четыре тысячи заболевших, и их число удваивалось каждые два дня. При продолжении такого тренда к 26 марта больных должно было быть уже 128 тыс. И хотя 26 марта США действительно вышли на первое место по числу заболевших, обогнав Китай, реальное количество оказалось меньше — 85 тысяч. Это значит, что период удвоения со временем постепенно увеличивается, а значит, экспоненциальная функция неплохо описывает эпидемию только на самых ранних ее этапах и лишь непродолжительное время. Основных причин замедления роста две. Первая — ограниченность ресурса: у эпидемии есть предел, так как население не бесконечно и при увеличении числа больных сокращается количество здоровых, которых еще можно заразить. Вторая причина — в реагировании населения на вирус: сокращение контактов и карантин замедляют темп распространения, что, впрочем, в статистике отражается не сразу, поскольку у вируса есть инкубационный период, а тестирование требует времени и имеет ограниченный охват.

Логистической кривой описываются самые разнообразные стихийные процессы, в их числе распространение новых технологий, информации, насыщение рынков новыми товарами, динамика численности населения. Применительно к эпидемии выделяются три параметра функции: скорость распространения, максимальное число заболевших (уровень плато) и день, когда количество заболевших будет максимальным. Уже имеющиеся данные при моделировании дают эти параметры, однако каждый день они меняются, и прогноз тут же оказывается устаревшим, поэтому при грубых оценках необходимо оттолкнуться от факторов, связанных с самой болезнью.

Первое и самое главное свойство вируса — инкубационный период, то есть промежуток времени между заражением и началом появления симптомов заболевания. Большинство оценок инкубационного периода для COVID-19 дают от одного до 14 дней, чаще всего около пяти дней. Впрочем, были и оценки в 19 и 27 дней, но они пока не подтвердились. Национальная комиссия по здравоохранению Китая первоначально оценивала инкубационный период от 10 до 14 дней, у первых заболевших из Уханя в среднем он составил 6,2 дня. Исследование, опубликованное в журнале New England Journal of Medicine 30 января, показало, что инкубационный период составляет в среднем 5,2 дня, именно это число мы берем за основу. Кстати, у сезонного гриппа — почти втрое меньше, около двух дней. Поскольку в первые дни заболевший еще не знает о своей болезни, ведет активный образ жизни и способен заразить других, длинный инкубационный период представляет главную проблему COVID-19.

Второе свойство — высокая контагиозность (заразность) вируса, то есть среднее количество человек, которых заражает каждый новый заболевший, или базовое репродуктивное число вируса (R0). Оценить R0 на начальных этапах распространения сложно из-за большой неопределенности в общем числе заболевших, значительную часть которых могут составлять люди без симптомов. Текущие оценки R0 дают число в интервале от 2 до 2,5 — именно столько человек в среднем заражает каждый больной COVID-19. Если контакты между людьми сокращаются, то R0 снижается, и при R0