Формулы для егэ по математике профильный уровень шпоры

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x); y=f(x-a); y=f(x)+b; y=f(ax); y=kf(x); y=|f(x)|; y=f(|x|). Построение графика обратной функции

Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.

Неравенства, понятия, строгие, нестрогие, решение. Свойства неравенств. Решение линейных неравенств. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов при решении неравенств.

Решение показательных неравенств. Решение логарифмическмх неравенств. Решение иррациональных неравенств. Решение неравенств с модулем. Часто применяемые неравенства

Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла

Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой "в отрезках". Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Нормальное уранение прямой.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней окружность с единичным радиусом и центром в начале координат.

Угол в \(1^\circ\) — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна \(\dfrac1<360>\) длины всей окружности.

\(\blacktriangleright\) Будем рассматривать на окружности такие углы, у которых вершина находится в центре окружности, а одна сторона всегда совпадает с положительным направлением оси \(Ox\) (на рисунке выделено красным).
На рисунке таким образом отмечены углы \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\) :

Заметим, что угол \(0^\circ\) — это угол, обе стороны которого совпадают с положительным направлением оси \(Ox\) .

Точку, в которой вторая сторона такого угла \(\alpha\) пересекает окружность, будет называть \(P_<\alpha>\) .
Положение точки \(P_<0>\) будем называть начальным положением.

Таким образом, можно сказать, что мы совершаем поворот по окружности из начального положения \(P_0\) до положения \(P_<\alpha>\) на угол \(\alpha\) .

\(\blacktriangleright\) Поворот по окружности против часовой стрелки — это поворот на положительный угол. Поворот по часовой стрелке — это поворот на отрицательный угол.

Например, на рисунке отмечены углы \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\) :

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим точку \(P_<30^\circ>\) на окружности. Для того, чтобы совершить поворот по окружности из начального положения до точки \(P_<30^\circ>\) , необходимо совершить поворот на угол \(30^\circ\) (оранжевый). Если мы совершим полный оборот (то есть на \(360^\circ\) ) и еще поворот на \(30^\circ\) , то мы снова попадем в эту точку, хотя уже был совершен поворот на угол \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\) (голубой). Также попасть в эту точку мы можем, совершив поворот на \(-330^\circ\) (зеленый), на \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) и т.д.

Таким образом, каждой точке на окружности соответствует бесконечное множество углов, причем отличаются эти углы друг от друга на целое число полных оборотов ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb\) ).
Например, угол \(30^\circ\) на \(360^\circ\) больше, чем угол \(-330^\circ\) , и на \(2\cdot 360^\circ\) меньше, чем угол \(750^\circ\) .

Все углы, находящиеся в точке \(P_<30^\circ>\) можно записать в виде: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \ n\in\mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Угол в \(1\) радиан — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности:

Т.к. длина всей окружности радиусом \(R\) равна \(2\pi R\) , а в градусной мере — \(360^\circ\) , то имеем \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf< рад>\) , откуда \[180^\circ=\pi \textbf< рад>\] Это основная формула, с помощью которой можно переводить градусы в радианы и наоборот.

Пример 1. Найти радианную меру угла \(60^\circ\) .

Т.к. \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac<\pi> <180>\Rightarrow 60^\circ=\dfrac<\pi>3\)

Пример 2. Найти градусную меру угла \(\dfrac34 \pi\) .

Т.к. \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\) .

Обычно пишут, например, не \(\dfrac<\pi>4 \text< рад>\) , а просто \(\dfrac<\pi>4\) (т.е. единицу измерения “рад” опускают). Обратим внимание, что обозначение градуса при записи угла не опускают. Таким образом, под записью “угол равен \(1\) ” понимают, что “угол равен \(1\) радиану”, а не “угол равен \(1\) градусу”.

Т.к. \(\pi \thickapprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf < рад>\Rightarrow 1 \textbf < рад>\thickapprox 57^\circ\) .
Такую приблизительную подстановку делать в задачах нельзя, но знание того, чему приближенно равен \(1\) радиан в градусах часто помогает при решении некоторых задач. Например, таким образом проще найти на окружности угол в \(5\) радиан: он примерно равен \(285^\circ\) .

\(\blacktriangleright\) Из курса планиметрии (геометрии на плоскости) мы знаем, что для углов \(0 определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
если дан прямоугольный треугольник со сторонами \(a, b, c\) и углом \(\alpha\) , то:

Т.к. на единичной окружности определены любые углы \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\) , то нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс для любого угла.
Рассмотрим единичную окружность и на ней угол \(\alpha\) и соответствующую ему точку \(P_<\alpha>\) :

Опустим перпендикуляр \(P_<\alpha>K\) из точки \(P_<\alpha>\) на ось \(Ox\) . Мы получим прямоугольный треугольник \(\triangle OP_<\alpha>K\) , из которого имеем: \[\sin\alpha=\dfracK>O> \qquad \cos \alpha=\dfracO>\] Заметим, что отрезок \(OK\) есть не что иное, как абсцисса \(x_<\alpha>\) точки \(P_<\alpha>\) , а отрезок \(P_<\alpha>K\) — ордината \(y_<\alpha>\) . Заметим также, что т.к. мы брали единичную окружность, то \(P_<\alpha>O=1\) — ее радиус.
Таким образом, \[\sin\alpha=y_<\alpha>, \qquad \cos \alpha=x_<\alpha>\]

Таким образом, если точка \(P_<\alpha>\) имела координаты \((x_<\alpha>\,;y_<\alpha>)\) , то через соответствующий ей угол ее координаты можно переписать как \((\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Определение: 1. Синусом угла \(\alpha\) называется ордината точки \(P_<\alpha>\) , соответствующей этому углу, на единичной окружности.

2. Косинусом угла \(\alpha\) называется абсцисса точки \(P_<\alpha>\) , соответствующей этому углу, на единичной окружности.

Поэтому ось \(Oy\) называют осью синусов, ось \(Ox\) — осью косинусов.

\(\blacktriangleright\) Окружность можно разбить на \(4\) четверти, как показано на рисунке.


Т.к. в \(I\) четверти и абсциссы, и ординаты всех точек положительны, то косинусы и синусы всех углов из этой четверти также положительны.
Т.к. во \(II\) четверти ординаты всех точек положительны, а абсциссы — отрицательны, то косинусы всех углов из этой четверти — отрицательны, синусы — положительны.
Аналогично можно определить знак синуса и косинуса для оставшихся четвертей.

Пример 3. Так как, например, точки \(P_<\frac<\pi><6>>\) и \(P_<-\frac<11\pi>6>\) совпадают, то их координаты равны, т.е. \(\sin\dfrac<\pi>6=\sin \left(-\dfrac<11\pi>6\right),\ \cos \dfrac<\pi>6=\cos \left(-\dfrac<11\pi>6\right)\) .

Пример 4. Рассмотрим точки \(P_<\alpha>\) и \(P_<\pi-\alpha>\) . Пусть для удобства \(0 .

Проведем перпендикуляры на ось \(Ox\) : \(OK\) и \(OK_1\) . Треугольники \(OKP_<\alpha>\) и \(OK_1P_<\pi-\alpha>\) равны по гипотенузе и углу ( \(\angle P_<\alpha>OK=\angle P_<\pi-\alpha>OK_1=\alpha\) ). Следовательно, \(OK=OK_1, KP_<\alpha>=K_1P_<\pi-\alpha>\) . Т.к. координаты точки \(P_<\alpha>=(OK;KP_<\alpha>)=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) , а точки \(P_<\pi-\alpha>=(-OK_1;K_1P_<\pi-\alpha>)=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\) , следовательно, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Таким образом доказываются и другие формулы, называемые формулами приведения: \[<\large<\begin \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\[2ex] \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\[2ex] \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\[2ex] \sin \left(\dfrac<\pi>2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac<\pi>2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\[2ex] \hline \end>>\]

С помощью этих формул можно найти синус или косинус любого угла, сведя это значение к синусу или косинусу угла из \(I\) четверти.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:
\[<\large<\begin <|c|c|c|c|c|c|>\hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac<\pi>6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac<\pi>4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac<\pi>3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac<\pi>2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac<\sqrt2>2&\frac<\sqrt3>2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac<\sqrt3>2&\frac<\sqrt2>2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm &0 &\frac<\sqrt3>3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm &\infty &\sqrt3&1&\frac<\sqrt3>3&0\\[4pt] \hline \end>>\]

Заметим, что данные значения были выведены в разделе “Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II” в теме “Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе”.

Пример 5. Найдите \(\sin<\dfrac<3\pi>4>\) .

\(\blacktriangleright\) Для упрощения запоминания и использования формул приведения можно следовать следующему правилу.

Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac<\pi>2\pm\alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac<\pi>2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac<\pi>2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\) .

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).

Пример 6. Найти \(\sin \dfrac<13\pi><3>\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac<13\pi><3>=\dfrac<12\pi+\pi><3>=4\pi+\dfrac<\pi>3\) , следовательно, \(\sin \dfrac<13\pi><3>=\sin \left(4\pi+\dfrac<\pi>3\right)=\sin\dfrac<\pi>3=\dfrac<\sqrt3>2\)

Пример 7. Найти \(\cos \dfrac<17\pi><6>\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac<17\pi><6>=\dfrac<18\pi-\pi><6>=3\pi-\dfrac<\pi>6\) , следовательно, \(\cos \dfrac<17\pi><6>=\cos \left(3\pi-\dfrac<\pi>6\right)=-\cos\dfrac<\pi>6=-\dfrac<\sqrt3>2\)

\(\blacktriangleright\) Область значений синуса и косинуса.
Т.к. координаты \(x_<\alpha>\) и \(y_<\alpha>\) любой точки \(P_<\alpha>\) на единичной окружности находятся в пределах от \(-1\) до \(1\) , а \(\cos\alpha\) и \(\sin\alpha\) — абсцисса и ордината соответственно этой точки, то \[<\large<-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1>>\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс и котангенс.

1) \(<\large<\mathrm\,\alpha\cdot \mathrm\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0>>\)

2) тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны в \(II\) и \(IV\) четвертях.

3) область значений тангенса и котангенса — все вещественные числа, т.е. \(\mathrm\,\alpha\in\mathbb, \ \mathrm\,\alpha\in\mathbb\)

4) для тангенса и котангенса также определены формулы приведения.

Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\mathrm\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\sin\alpha\ne 0\) ).

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac<\pi>2\pm\alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\mathrm\,(n\cdot \pi+\dfrac<\pi>2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm\,(n\cdot \pi+\dfrac<\pi>2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) ось тангенсов проходит через точку \((1;0)\) параллельно оси синусов, причем положительное направление оси тангенсов совпадает с положительным направлением оси синусов;
ось котангенсов — через точку \((0;1)\) параллельно оси косинусов, причем положительное направление оси котангенсов совпадает с положительным направлением оси косинусов.


Доказательство этого факта приведем на примере оси тангенсов.

\(\triangle OP_<\alpha>K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfracK>=\dfrac \Rightarrow \dfrac<\sin\alpha><\cos\alpha>=\dfrac1 \Rightarrow BA=\mathrm\,\alpha\) .

Таким образом, если точку \(P_<\alpha>\) соединить прямой с центром окружности, то эта прямая пересечет линию тангенсов в точке, значение которой равно \(\mathrm\,\alpha\) .

6) из основного тригонометрического тождества вытекают следующие формулы: \[1+\mathrm\,^2\alpha=\dfrac1<\cos^2\alpha>,\cos\alpha\ne 0 \qquad \qquad 1+\mathrm\,^2\alpha=\dfrac1<\sin^2\alpha>, \sin\alpha\ne 0\] Первую формулу получают делением правой и левой частей ОТТ на \(\cos^2\alpha\) , вторую — делением на \(\sin^2\alpha\) .

Обращаем внимание, что тангенс не определен в углах, где косинус равен нулю (это \(\alpha=\dfrac<\pi>2+\pi n, n\in\mathbb\) );
котангенс не определен в углах, где синус равен нулю (это \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb\) ).

\(\blacktriangleright\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса.

Напомним, что функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x)=f(x)\) .

Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\) .

По окружности видно, что косинус угла \(\alpha\) равен косинусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\) :

Таким образом, косинус — четная функция, значит, верна формула \[<\Large<\cos(-x)=\cos x>>\]

По окружности видно, что синус угла \(\alpha\) противоположен синусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\) :

Таким образом, синус — нечетная функция, значит, верна формула \[<\Large<\sin(-x)=-\sin x>>\]

Как показывает практика, один из сложнейших разделов математики, который встречается школьникам в ЕГЭ, — тригонометрия. С наукой о соотношениях сторон в треугольниках начинают знакомиться в 8 классе. Уравнения данного типа содержат переменную под знаком тригонометрических функций. Несмотря на то, что простейшие из них: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) — знакомы практически каждому школьнику, их выполнение зачастую вызывает сложности.

В ЕГЭ по математике профильного уровня правильно решенное задание по тригонометрии оценивается очень высоко. Школьник может получить до 4 первичных баллов за верно выполненную задачу из данного раздела. Для этого искать к ЕГЭ шпаргалки по тригонометрии практически бессмысленно. Наиболее разумное решение — хорошо подготовиться к экзамену.

Как это сделать?

Для того чтобы тригонометрия в ЕГЭ по математике вас не пугала, воспользуйтесь при подготовке нашим порталом. Это удобно, просто и эффективно. В данном разделе нашего образовательного портала, открытом для учащихся как Москвы, так и других городов, представлены доступно изложенный теоретический материал и формулы по тригонометрии для ЕГЭ. Также ко всем математическим определениям мы подобрали примеры с подробным описанием хода их решения.

Что нужно знать?

Прежде всего необходимо выучить значения \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) острых углов от \(0°\) до \(90°\) . Также при подготовке к ЕГЭ в Москве стоит запомнить основные методы решения заданий по тригонометрии. Следует учесть, что, выполняя задачи, вы должны привести уравнение к простейшему виду. Сделать это можно следующим образом:

• разложив уравнение на множители;
• заменив переменную (сведение к алгебраическим уравнениям);
• приведя к однородному уравнению;
• перейдя к половинному углу;
• преобразовав произведения в сумму;
• введя вспомогательный угол;
• использовав способ универсальной подстановки.

При этом чаще всего учащемуся приходится в ходе решения использовать несколько из перечисленных методов.

Читайте также:

• Маркетинговая среда и ее структура шпора
• Болят ли суставы после чистки
• Что такое болезнь мягких тканей рожа
• Как похудеть с помощью упражнений но не накачать мышцы
• Лечение суставов в санатории лаба