Как сделать шпору для егэ по математике
Формулы, правила, свойства. Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Для начала шпаргалка в компактном виде:
Формулы сокращенного умножения
(а+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(а-b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
a 3 – b 3 = (a-b)( a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b 3 = (a+b)( a 2 – ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b+ 3ab 2 + b 3
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b+ 3ab 2 - b 3
Свойства степеней
a m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)
a - r = 1/ a r (a>0, r ε Q)
a m · a n = a m + n
a m : a n = a m – n (a≠0)
Первообразная
Если F’(x) = f(x), то F(x) – первообразная
x n = x n +1 /n+1 + C
a x = a x / ln a + C
cos x = sin x + C
1/ sin 2 x = – ctg x + C
1/ cos 2 x = tg x + C
sin x = – cos x + C
Геометрическая прогрессия
q – знаменатель прогрессии
b n = b1 · q n – 1 – n-ый член прогрессии
Модуль
-a, если a Формулы cos и sin
sin (x + π) = -sin x
cos (x + π) = -cos x
sin (x + 2πk) = sin x
cos (x + 2πk) = cos x
sin (x + π/2) = cos x
Объемы и поверхности тел
1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед V = S·h
2. Прямая призма SБОК = p·h, p – периметр или длина окружности
3. Параллелепипед прямоугольный
V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a)
P – полная поверхность
4. Куб: V = a 3 ; P = 6 a 2
S = 1/3 S·h; S – площадь основания
6. Пирамида правильная S =1/2 p·A
A – апофема правильной пирамиды
7. Цилиндр круговой V = S·h = πr 2 h
8. Цилиндр круговой: SБОК = 2 πrh
9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr 2 h
10. Конус круговой: SБОК = 1/2 pL= πrL
Тригонометрические уравнения
sin x = 1, x = π/2 + 2 πn
sin x = -1, x = – π/2 + 2 πn
cos x = 0, x = π/2 + 2 πn
cos x = 1, x = 2πn
cos x = -1, x = π + 2 πn
Теоремы сложения
cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny
cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny
sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny
sin (x -y) = sinx ·cosy – cosx ·siny
tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 - + tg x ·tg y
ctg (x ±y) = tg x - + tg y/ 1± tg x ·tg y
sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x - +y/2)
cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x - +y/2)
1 + cos 2x = 2 cos 2 x; cos 2 x = 1+cos2x/2
1 – cos 2x = 2 sin 2 x; sin 2 x = 1- cos2x/2
a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h
а – сторона, d – диагональ S = a 2 = d 2 /2
a – сторона, d1, d2 – диагонали, α – угол между ними S = d1d2/2 = a 2 sinα
9. Правильный шестиугольник
a – сторона S = (3√3/2)a 2
S = (L/2) r = πr 2 = πd 2 /4
Правила дифференцирования
( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)
(tg x)’ = 1/ cos 2 x
(ctg x)’ = – 1/ sin 2 x
(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)
Уравнение касательной к графику функции
Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x = a , x = b
Формула Ньютона-Лебница
| t | π/4 | π/2 | 3π/4 | π |
| cos | √2/2 | 0 | -√2/2 | 1 |
| sin | √2/2 | 1 | √2/2 | 0 |
| t | 5π/4 | 3π/2 | 7π/4 | 2π |
| cos | -√2/2 | 0 | √2/2 | 1 |
| sin | -√2/2 | -1 | -√2/2 | 0 |
| t | 0 | π/6 | π/4 | π/3 |
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 |
| ctg | - | √3 | 1 | √3/3 |
sin x = b x = (-1) n arcsin b + πn
cos x = b x = ± arcos b + 2 πn
tg x = b x = arctg b + πn
ctg x = b x = arcctg b + πn
Теорема синусов : a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
Теорема косинусов : с 2 =a 2 +b 2 -2ab cos y
Неопределенные интегралы
∫ x n dx = (x n +1 /n+1) + C
∫ sin x dx = – cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ dx/sin 2 x = -ctg + C
∫ dx/cos 2 x = tg + C
∫ x r dx = x r+1 /r+1 + C
Логарифмы
| Градус | 0 | 30 | 45 | 60 |
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 |
| t | π/6 | π/3 | 2π/3 | 5π/6 |
| cos | √3/2 | 1/2 | -1/2 | -√3/2 |
| sin | 1/2 | √3/2 | √3/2 | 1/2 |
| 90 | 120 | 135 | 150 | 180 |
| 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| - | -√3 | -1 | √3/3 | 0 |
| t | 7π/6 | 4π/3 | 5π/3 | 11π/6 |
| cos | -√3/2 | -1/2 | 1/2 | √3/2 |
| sin | -1/2 | -√3/2 | -√3/2 | -1/2 |
Формулы двойного аргумента
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x -1 = 1 – 2 sin 2 x = 1 – tg 2 x/1 + tg 2 x
sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg 2 x
tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg 2 x
ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x
tg 3x = 3 tg x – tg 3 x / 1 – 3 tg 2 x
sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2
sin s sin t = (cos (s-t) – cos (s+t))/2
cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2
Формулы дифференцирования
x’ = 1 (sin x)’ = cos x
(kx + m)’ = k (cos x)’ = – sin x
(1/x)’ = – (1/x 2 ) ( ln x)’ = 1/x
(e x )’ = e x ; (x n )’ = nx n-1 ;(log a x)’=1/x ln a
Площади плоских фигур
1. Прямоугольный треугольник
S = 1/2 a·b (a, b – катеты)
2. Равнобедренный треугольник
S = (a/2)·√ b 2 – a 2 /4
3. Равносторонний треугольник
S = (a 2 /4)·√3 (a – сторона)
4. Произвольный треугольник
a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2
S = 1/2 a·h = 1/2 a 2 b sin C =
a 2 sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)
a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α
cos (x + π/2) = -sin x
Формулы tg и ctg
tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x
ctg (x + πk) = ctg x
ctg (x ± π) = ± ctg x
tg (x + π/2) = – ctg x
ctg (x + π/2) = – tg x
sin 2 x + cos 2 x =1
1 + tg 2 x = 1/ cos 2 x
1 + ctg 2 x = 1/ sin 2 x
tg 2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x
cos 2 (x/2) = 1 + cos x/ 2
sin 2 (x/2) = 1 – cos x/ 2
P = 4 πR 2 = πD 2
V = πh 2 (R-1/3h) = πh/6(h 2 + 3r 2 )
SБОК = 2 πRh = π(r 2 + h 2 ); P= π(2r 2 + h 2 )
V = 1/6 πh 3 + 1/2 π(r 2 + h 2 )· h;
14. Шаровой сектор:
V = 2/3 πR 2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе
Формула корней квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)
Если D=0, то x = -b/2a (D = b 2 -4ac)
Если D>0, то x1,2 = -b± /2a
Арифметическая прогрессия
a n+1 = a n + d, где n – натуральное число
d – разность прогрессии;
a n = a 1 + (n – 1)·d – формула n-го члена
Радиус описанной окружности около многоугольника
R = a/ 2 sin 180/n
Радиус вписанной окружности
L = 2 πR S = πR 2
Площадь конуса
Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилещащему. Котангенс – наоборот.
Скачать шпаргалки по математике
Скачать всё это в компактном виде: matematika-shpory.doc.
Рекомендуем:
Читайте также: