Математическая модель инфекционного заболевания

Как математика помогает бороться с эпидемиями

Эпидемии издавна угрожали человечеству, и только в ХХ веке были разработаны эффективные средства борьбы с инфекциями. К числу этих средств принадлежат и системы дифференциальных уравнений — математика помогает моделировать распространение эпидемий и помогает понять, как следует с ними бороться. Это наш третий материал о самых интересных дифференциальных уравнениях и о том, где и как они применяются (предыдущие материалы можно прочитать здесь и здесь). Если вы читаете нас с телефона, переключайте страницу на десктопную версию, так вы сможете увидеть интерактивный график целиком.

В XXI веке мир уже успел столкнуться с эпидемией птичьего гриппа в Юго-Восточной Азии (в 2013 году) и вспышкой заболеваний лихорадкой Эбола в Африке (2015). Но в истории человечества бывали и куда более масштабные эпидемии.

В 551-580 годах нашей эры в Восточной Римской империи разразилась первая задокументированная пандемия чумы, получившей название Юстиниановой, в результате которой погибло около 100 миллионов человек (по другим данным, жертв могло быть значительно меньше). Спустя еще 800 лет в Евразию и Северную Африку пришла Черная смерть — пандемия чумы, сразившая от трети до половины тогдашнего населения этих регионов.

В результате Первой мировой войны, вызвавшей перемещение большого количества людей, в 1918 году распространился испанский грипп, охвативший более 500 миллионов человек и погубивший каждого десятого заболевшего. Эта пандемия стала самой масштабной за всю историю человеческой цивилизации, коснувшись до 30 процентов населения Земли.

В медицинской классификации эпидемией называют прогрессирующее распространение инфекционного заболевания на уровне выше среднего на данной территории. В случае распространения эпидемии на большие территории или территории многих стран говорят о пандемии.

Для эпидемии среди животных применяется термин эпизоотия, а среди растений — эпифития. Этим явлениям ученые также уделяют большое внимание, поскольку они, в свою очередь, помогают понять механизм распространения инфекций.

Изучение механизмов развития и распространения эпидемий является важным способом борьбы с заболеваниями наряду с поиском новых лекарств, вакцинацией и профилактическими мерами. На помощь медикам пришли математики — для этого им пришлось объединить дифференциальные уравнения и теорию вероятности.

Первую попытку использовать математический аппарат для исследования механизмов распространения заболеваний предпринял Даниил Бернулли, ранее открывший первые законы гидродинамики. Следующий шаг сделал Уильям Фарр, применивший в 1840 году нормальное распределение к анализу смертности от оспы.

В рамках этой модели с помощью систем дифференциальных уравнений (при условии непрерывности времени и большой популяции) или разностных уравнений (при дискретном времени и ограниченной популяции) описывается динамика распространения заболевания.

SIR–модель получила заслуженную популярность в силу простоты построения и использования. Ее применение позволяет точно моделировать эпидемии гриппа и других заболеваний в больших городах, вводить новые параметры и анализировать разные сценарии.

Система уравнений SIR:

• S(t) — численность восприимчивых индивидов в момент времени t;
• I(t) — численность инфицированных индивидов в момент времени t;
• R(t) — численность переболевших индивидов в момент времени t;
• β — коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием;
• γ — коэффициент интенсивности выздоровления инфицированных индивидов.

Первое уравнение системы означает, что изменение числа здоровых (и при этом восприимчивых к заболеванию) индивидуумов уменьшается со временем пропорционально числу контактов с инфицированными. После контакта происходит заражение, восприимчивый переходит в состояние инфицированного.

Второе уравнение показывает, что скорость увеличения числа заразившихся растет пропорционально числу контактов здоровых и инфицированных и уменьшается по мере выздоровления последних.

Третье уравнение демонстрирует, что число выздоровевших в единицу времени пропорционально числу инфицированных. Иначе говоря, каждый заболевший через некоторое время должен поправиться.

описывает неизменность численности популяции (и не учитывает случаи смерти от заболевания).

Графики решения выглядят так (это интерактивный график, в нем можно регулировать параметры β и γ):

Здесь синяя линия — число восприимчивых индивидов, красная — инфицированных, зеленая — переболевших.

Красный график интенсивности эпидемии, показывающей количество одномоментно болеющих индивидов, определяется параметром:

В 2012 году британская компания Ndemic Creation выпустила игру “Plague Inc.”, биологический симулятор эпидемий. По сценарию игры необходимо развить одно из выбранных заболеваний настолько, чтобы оно уничтожило жизнь на Земле.

На базовых уровнях игры распространение заболевания происходит в точном соответствии с моделью SIR. Если принять, что вместо выздоровления происходит гибель организма, то зеленый график становится графиком числа умерших — каждый игрок может увидеть его при успешном прохождении уровня.

“Plague Inc.” является одной из лучших стратегий среди существующих на рынке и на протяжении многих лет пользуется популярностью у десятков миллионов поклонников.

SIR-модель перестает работать в случае необходимости учитывать неоднородность популяции (например, различную плотность населения в разных районах), разные пути передачи инфекции и факторы случайности, значимые в малых популяциях и на начальной фазе распространения заболевания.

Развитием модели SIR стали, в частности, следующие модели:

Именно по этой модели развиваются по-настоящему опасные эпидемии, поскольку длительный инкубационный период может препятствовать своевременному обнаружению заболевания. В этом случае есть риск, что заболевание охватит значительное число индивидуумов в популяции.

• μ — уровень смертности;
• α — величина, обратная среднему инкубационному периоду заболевания;
• E(t) — численность индивидов — носителей заболевания в момент времени t.

Как и в модели SIR, первое уравнение системы означает, что изменение числа здоровых (и при этом восприимчивых к заболеванию) индивидуумов уменьшается со временем пропорционально числу контактов с инфицированными. После заражения здоровый индивид переходит в состояние контактного по данному заболеванию, или носителя инфекции.

Второе уравнение вносит задержку по времени при переходе из состояния контактного в состояние инфицированного (больного). Это происходит через время, равное инкубационному периоду болезни.

Четвертое уравнение демонстрирует, что число выздоровевших в единицу времени пропорционально числу инфицированных. При этом в каждом состоянии индивидуум может погибнуть, что учитывает коэффициент μ в каждом уравнении.

Иначе говоря, в каждый момент времени каждый индивидуум с определенной вероятностью может заразиться, через некоторое время — заболеть, а затем поправиться либо погибнуть.

Численность популяции N = S + E + I + R при этом не является постоянной с течением времени.

Интенсивность эпидемии описывает базовый коэффициент воспроизведения:

Например, построим симуляцию, использовав следующие параметры:

• На площади 20 × 20 размещены 100 индивидуумов (заполнение 25 процентов);
• Индивидуумы на каждом шаге перемещаются с вероятностью 80 процентов, в случае контакта здорового индивидуума (зеленая точка) с инфицированным (красная точка) происходит заражение с вероятностью 50 процентов;
• Заражение длится 6 дней, в течение которых возможна смерть организма с вероятностью 50 процентов либо полное выздоровление с приобретением иммунитета;
• В момент начала эпидемии примем, что инфицированы 5 процентов организмов и еще 5 процентов имеют иммунитет;
• Модель дискретная, один день = один шаг модели.

С помощью моделирования мы видим, что 49 организмов из 100 погибнут в результате эпидемии длительностью в 29 дней.

Симуляция эпидемии с заданными параметрами

Epidemic Simulator позволяет моделировать результаты эпидемий при различных плотности популяции, заразности, летальности и устойчивости заболеваний.

Вместе первое и второе уравнение означают, что число здоровых и больных в сумме не меняется, а число заражений пропорционально числу контактов здоровых и больных.

Второе уравнение описывает изменение числа заболевших в единицу времени, которое пропорционально числу заражений (числу контактов здоровых и инфицированных индивидуумов) за вычетом числа выздоровлений.

График развития заболевания в соответствии с этой моделью выглядит так (график интерактивный, можно регулировать параметры β и γ):

Синяя линия — число восприимчивых индивидов, красная — инфицированных в текущий момент.

Эта модель, построенная для заболевания с инкубационным периодом и учитывающая иммунитет детей, приобретенный внутриутробно, — одна из самых сложных для анализа в силу наличия большого числа независимых параметров. Система уравнений для нее выглядит так:

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Улыбин Андрей Владимирович

ПРОВЕДЕН АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МОДЕЛЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИЙ. ПРЕДЛАГАЕТСЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АГЕНТНОГО ПОДХОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДАННОГО ПРОЦЕССА. ПРЕДСТАВЛЕНА ИМИТАЦИОННАЯ МУЛЬТИАГЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИИ.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Улыбин Андрей Владимирович

Mathematical model of infection propagation

The analysis of existing models of propagation of infections is carried out. The usage agent based approach for modeling of the given process is offered. The imitative multi-agent model of propagation of infection is presented.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИИ

Ключевые слова: агент; модель; имитационное моделирование; мультиагентный подход; модель распространения инфекции.

Проведен анализ существующих моделей распространения инфекций. Предлагается использование агентного подхода для моделирования данного процесса. Представлена имитационная мультиагентная модель распространения инфекции.

Принципы моделирования социальных и эпидемиологических процессов существенно отличаются от моделирования в естественных науках. Здесь нет твердо установленных экспериментом и практикой зависимостей, которые всегда остаются справедливыми и не изменяются. При построении моделей таких процессов необходимо учитывать изначальную неточность задания всех данных, отсутствие четкого математического описания переменных и параметров, используемых при моделировании. Важно понимать возможность отклонения статистических данных от их реальных значений.

В качестве наиболее подходящего аппарата для моделирования процессов в эпидемиологии предполагается имитационное моделирование с использованием мультиагентного метода. Он позволяет, задавшись начальными параметрами по каждому типу объектов, а также системой правил, согласно которой объекты взаимодействуют друг с другом и окружающей средой, вычислить динамические закономерности развития инфекции и выявить наиболее существенные свойства агентов, способствующих изменению темпов распро-

странения. Преимуществом данного подхода является то, что учитываются индивидуальные свойства каждого объекта, составляющего сложную систему. Динамика сложного процесса представляет собой результат функционирования и взаимодействия относительно простых объектов [3]. Основная задача аналитика заключается в формулировке правил взаимодействия.

Необходимо отметить, что мультиагентный подход применялся для исследования процессов распространения инфекций как в России, так и за рубежом. Учеными Guo Zaiyi, Han Hann Kwang и Tay Joc Cing была разработана модель заражения клеток ВИЧ-инфекцией на основе агентного подхода [4]. Данная модель направлена на исследование распространения клеток ВИЧ-инфекции внутри одного организма и не предназначена для изучения распространения инфекции между людьми. Одним из известных способов моделирования распространения инфекций и эпидемий является имитационное моделирование на основе клеточных автоматов [5]. С использованием мультиагентного подхода была изучена динамика распространения ВИЧ-инфекции среди мужчин-гомосексуалистов в Амстердаме [6]. Данная модель рассматривает распространение инфекции в одной группе риска, необходимо отметить, что такой подход часто встречается при моделировании.

Многие приемы, используемые при применении мультиагентного подхода, разработаны в настоящее время в недостаточной степени. В частности, не решались задачи параметрической идентификации указанных моделей, нахождения необходимого числа агентов, обеспечивающих репрезентативность вычислительных экспериментов, проверки мультиагентных моделей на адекватность. По этой причине разработка новых математических моделей, алгоритмов и программ, предназначенных для использования мультиагентного подхода при анализе различных систем, представляет собой актуальную научную задачу.

Данная работа направлена на разработку мультиа-гентной модели распространения инфекции, на основе которой предполагается создание универсального симулятора для моделирования различных инфекций.

ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ

Итак, необходимо разработать мультиагентную модель распространения инфекции, позволяющую учесть индивидуальные свойства объектов и проводить вычислительные эксперименты по исследованию процесса распространения.

Основные допущения, принятые при разработке математической модели и алгоритмов, лежащих в основе программного комплекса, имеют следующий вид.

1. Моделирование осуществляется на ограниченной территории, где существует вероятность взаимодействия любого агента с любым другим из системы, т. е. У01,02 е С ^ ЗР(01 П 02) Ф 0 .

2. Время в модели дискретно. Единицей времени является одна итерация. В реальном времени она может представлять собой один день, месяц, год и т. п. в зависимости от значений параметров модели. Отсчет времени начинается с нуля итераций. Шаг времени равен единице.

3. В начальный момент времени формируется множество агентов системы согласно статистическим данным. Свойства и параметры агентов определяются на стадии формирования всего множества.

4. Максимальная продолжительность жизни агента задается количеством итераций, по истечении которого агент умирает. Максимальная продолжительность жизни может быть изменена в процессе моделирования в случае инфицирования агента.

5. Все агенты разбиваются на типы, определяющие его отношение к инфекции: здоровый агент, инфицированный агент, носитель инфекции (способный к инфицированию других агентов, но при этом не испытывающий негативного влияния инфекции). Здоровые агенты в свою очередь могут обладать иммунитетом либо быть склонными к заражению.

6. Для каждого типа объектов определяется система правил, взаимодействие по которым определяет характер динамики распространения инфекции.

7. Взаимодействие одновременно возможно только между двумя агентами системы. То есть невозможно такое взаимодействие, в результате которого изменяются параметры нескольких (более двух) агентов.

8. Замена типа происходит при взаимодействии объектов разных типов. Результатом взаимодействия является тип, определяющий статус инфицирования объекта.

ИМИТАЦИОННАЯ МУЛЬТИАГЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИИ

Общее количество инфицированных агентов на любой итерации всегда можно рассчитать по формуле:

где Кщ[ - общее количество инфицированных, К - количество инфицированных в результате внутренних процессов, К - количество инфицированных иммигрантов, ке - количество инфицированных эмигрантов.

Количество инфицированных в результате внутренних процессов рассчитывается по формуле:

где К- количество инфицированных различными

путями заражений, Б - количество умерших среди инфицированных, 1 - г-й путь передачи инфекции.

В начальный момент времени имеется множество М - множество объектов различного типа: М = <<С1>,<С2>. <Ср>>, где р - количество типов

где Ск - множество объектов типа к, пк - общее количество объектов типа к в начальный момент времени.

Каждому объекту из множества, определенного выражением (1), соответствует следующий набор параметров:

где sk - пол объекта, ак - возраст объекта в началь-

ный момент времени, атг - максимальная продолжительность жизни объекта, wk - количество взаимодействий объекта с другими объектами, рк - вероятность

инфицирования при взаимодействии, Ик - продолжительность жизни инфицированного объекта.

Функционирование объектов подчинено следующим правилам.

Возникновение г-го объекта типа к в момент времени t+1 определяется выражением (2), а его гибель выражением (3).

(Ск )г ^ (Ск - <сг >Х+1 • (3)

Система правил (4) определяет изменение ак - возраста объекта типа к за единицу времени. Согласно нашим допущениям, время дискретно и измеряется в итерациях. На каждой итерации будем увеличивать возраст объекта на единицу времени. Согласно второму правилу системы, необходимо исключить объект из множества объектов типа к, если отведенный ему максимальный срок жизни уже истек.

(ск Ь ^ (ск)( : (ак), = (ак)м +1

(ак)<>атк ^ (Ск)<^ (Ск- <ск >^+1, (4) к = 1, р, г = 1, пк.

Выражение (5) позволяет уменьшать максимальный срок жизни объектов типа к на заданное количество итераций (максимальная продолжительность жизни г-го объекта после изменения типа) в случае изменения типа объекта в результате взаимодействия объектов разных тигаж

(ak) + h, (ak) + hi ami.

Вероятность нового инфицирования при взаимодействии двух агентов существует, если выполняется условие:

где элементарное событие A - это взаимодействие здорового агента с инфицированным агентом A є W , W -пространство элементарных событий при взаимодействии агентов; элементарное событие B - передача инфекции в результате взаимодействия B є Q, Q - пространство элементарных событий при передаче инфекции; i = 1, n,, j = 1, nm , nk - количество объектов заданного типа k, nm - количество объектов заданного типа m.

Замена i-го объекта типа k на j-й объект типа m происходит при изменении статуса инфицирования в соответствии с выражением:

(Ck )t ^ (Ck - )t+1 (Cm)t ^ (Cm + )t+/

Итак, для имитационного моделирования распространения инфекции на основе агентно-ориентированного подхода необходимо определить начальные параметры по каждому типу объектов.

Имитационная модель распространения инфекции реализована в среде Lazarus на платформе хб4.

Для проведения вычислительных экспериментов были использованы данные Федерального научнометодического Центра по профилактике и борьбе со СПИДом по распространению ВИЧ-инфекции в России, данные Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Тамбовской области и Управления здравоохранения Тамбовской области по распространению туберкулеза в Тамбовской области [8, 9]. Исходное количество агентов, а также их свойства задавались согласно статистическим данным.

В табл. 1 представлены результаты по моделированию распространения туберкулеза в Тамбовской области.

Относительная погрешность вычислений при этом составила 4,1 %. Результаты моделирования на данных ВИЧ-инфекции были ранее представлены в статье [7]. Было получено, что количество инфицированных агентов в результате эксперимента превосходит статистические показатели. Относительная погрешность вычислений при этом составила 15,5 %. Однако анализ процесса распространения инфекции показал, что характер изменения динамики по модели соответствует данным

Кумулятивное количество новых случаев заболеваний туберкулезом в Тамбовской области по годам

Год Данные Результат

Также необходимо обозначить проблему нехватки вычислительных ресурсов, т. к. для моделирования распространения инфекции в пределах всей России количество агентов имеет порядок 108. Для целей данной работы использовался сервер на базе двух процессоров 1Пе1 Хеоп Е5520 с 24 Гб оперативной памяти и дисковым массивом га1(110 (4хБЛ815к). Наиболее предпочтительным вариантом решения проблемы нехватки вычислительных ресурсов предполагается использование распараллеливания вычислений.

Необходимо отметить, что проблема распространения инфекций остается актуальной и требует выявления основных причин и факторов, способных снизить темпы распространения. В данной работе для решения этих задач предлагается использовать дискретную модель распространения инфекции с использованием мультиагентного подхода. Обозначены основные допущения, используемые при моделировании, произведена формализация имитационной модели распространения инфекции на основе агентного подхода. Вычислительные эксперименты, даже при значительном уп-

рощении модели (что отражено в допущениях), позволяют проводить исследования процесса распространения. Таким образом, можно рекомендовать мульти-агентный подход для имитационного моделирования распространения инфекций и иных социальных процессов, в которых поведение сложной системы представляет результат взаимодействия составляющих ее объектов.

1. Perelson A.S. Modelling viral and immune system dynamics // Nature Reviews Immunology. 2002. № 1. P. 28-3б.

2. Жуковский Е.С., Шиндяпин А.И., Плужникова Е.А. Математическая модель динамики распространения ВИЧ/СПИД, учитывающая вероятность прекращения антивирусного лечения // Гаудеамус. Актуальные проблемы информатики и информационных технологий. Материалы XIV-й международной научно-практической конференции. 2010. № 2. С. 350-352.

3. Замятина Е.Б. Современные теории имитационного моделирования: Специальный курс. Пермь: ПГУ, 2007. 119 с.

4. Cing T.J., Kwang H.H., Zaiyi G. Sufficiency Verification of HIV-1 Pathogenesis Based on Multi-Agent Simulation // GECCO. 2005. P. 305-312.

5. Куравский М.Л. Моделирование распространения эпидемий // Экологические системы и приборы. 2003. № 2. С. 49-54.

6. Shan A.M., Sloot P.M.A., Quax R., Zhu Y., Wang W. Complex Agent Networks explaining the HIV epidemic among homosexual men in Amsterdam // Mathematics and Computers in Simulation. 2010. V. 80. № 5. P. 1018-1030.

7. Арзамасцев А.А., Улыбин А.В. Имитационное моделирование развития инфекции с использованием агентного подхода // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. № 2. С. 614-619.

Поступила в редакцию 12 ноября 2010 г.

Ulybin A.V. Mathematical model of infection propagation The analysis of existing models of propagation of infections is carried out. The usage agent based approach for modeling of the given process is offered. The imitative multi-agent model of propagation of infection is presented.

Key words: agent, model, simulation modeling, multi-agent based approach, model of infection propagation.

Реферат по теме выпускной работы

Содержание

Введение

Инфекционные болезни являются одной из важных проблем современной медицины и остаются наиболее опасными и распространенными. Единственную инфекционную болезнь, которую удалось практически ликвидировать – ветряная оспа. В то время, как в мире насчитывается сотни инфекций, с которыми не известен способ борьбы. Самими распространенными инфекциями являются: холера, бубонная чума, грипп, брюшной тиф, оспа.

За свою жизнь человек неоднократно подвергается заболеваниям. Чаще всего за год человек болеет на вирусные инфекционные заболевания и это является причиной его временной нетрудоспособности. Наибольшую группу риска составляют дети и личности репродуктивного возраста. От инфекционных болезней ежегодно умирает более 16 млн. человек, то есть столько же, сколько суммарно от заболеваний сердечно-сосудистых и злокачественных образований [1].

1. Актуальность темы

Современная медицина для своей практики и теории применяет математические, физические и технические методы, что дает возможность не только поставить диагноз, но и установить причину болезни.

Развитие и внедрение в медицинскую практику разнообразных методов исследований в настоящее время все чаще приводят к необходимости применения математических методов [4]. Поэтому на сегодняшний день актуальными является следующие проблемы:

• эффективной диагностики вирусного заболевания;
• оценки тяжести и исследования динамики патологического процесса протекания заболевания;
• выбора и оценки эффективности применяемой терапии;
• прогнозирования протекания заболевания и вероятных его исходов.

Таким образом, актуальность темы моделирования протекания вирусного заболевания заключается в необходимости делать прогноз во времени для каждого пациента с учетом его возрастной категории, времени распространения вируса в организме и объема поврежденных тканей для эффективного лечения.

2. Цель и задачи исследования

Целью исследования является разработка модели процесса протекания вирусного заболевания, которая позволила бы учесть индивидуальные характеристики пациента и тяжесть заболевания, и на основании чего выбрать эффективное лечение.

Для достижения цели работы необходимо выполнить следующие задачи:

1. Рассмотреть особенности процесса протекания вирусного заболевания.
2. Выполнить обзор существующих моделей прогноза динамики протекания и распространения вирусного инфекционного заболевания.
3. Разработать динамическую модель протекания вирусного заболевания, с целью выбора эффективного лечение.

Объект исследования : вирусное заболевание, его динамика и лечение.

Предмет исследования : существующие модели прогноза динамики течения вирусного заболевания и методы лечения.

3. Обзор существующих моделей прогноза вирусных заболеваний

Существует два основных направления распространения вирусного заболевания. К первому направлению следует отнести распространения эпидемии, а второе направление – поражение инфекцией конкретного человека. Первое направление имеет большое социально-экономическое значение для общества и государства. Данный тип моделирования используется для прогноза и моделирования эпидемии в динамики. Второе же направление делает акцент на моделирование динамики протекания инфекционного заболевания для конкретного индивида с учетом особенностей его организма. Данное моделирование предназначено для прогноза и эффективного лечение пациента.

Грегори Л. Армстронг и Бет П. Белл в работе "Вирусный гепатит A в США: оценки и последствия для иммунизации детей на основе модели" преставали результаты, которые позволяют существенно снизить заболеваемость гепатитом в целом [18].

В Харьковском национальном университете радиоэлектроники (ХНУРЭ) на кафедре биомедицинской инженерии (БМИ) занимаются научной деятельностью по следующим направлениям: исследования в областях микропроцессорных и микроконтроллерных систем, обработка медицинских изображений и сигналов, разработка программно-аппаратного обеспечения нейрохирургических систем, исследование информационных технологий в медицине, математическое моделирование и приборостроение в медицине, создание биомедицинских систем, оптимизация создания цифроаналоговых устройств, исследование электрохемилюминесценции и нанофотоники, формирование и анализ акустических полей природного и техногенного происхождения [11].

В Донецком национальном университете функционирует кафедра инфекционных болезней. Сотрудники кафедры занимаются лечением больных в клинике, консультативной работой в отделениях больницы, Гепатологическом Центре, осуществляют выезды по линии экстренной медицинской помощи в города и районы области. На базе кафедры создано и функционирует Донецкое областное научно-медицинское общество инфекционистов. Основной целью деятельности Общества является повышение уровня научно-медицинской подготовки практических врачей Донецкой области. Основными направлениями научной деятельности кафедры являются вирусные гепатиты, инфекции центральной нервной системы и TORCH-инфекции. При кафедре был организован первый в Украине Центр Консультативной и Лечебно-диагностической Помощи Больным Вирусными Гепатитами [16].

С целью краткосрочного прогнозирования заболеваемости эпидемическим паротитом и ветряной оспой В.Д. Денисенко (1982) использовал математический аппарат автокорреляции, описывающий характер многолетних и внутригодовых колебаний эпидемического процесса. Прогнозирование проводилось на основе данных ежемесячной заболеваемости в 9 крупных городах Украины за 10-11 лет. Эта модель по сравнению с рассмотренными выше, реализует формальный подход к прогнозированию эпидемического процесса и поэтому в меньшей степени отвечает предъявляемым в таких случаях требованиям [3].

Модель С.Г. Кривенкова и Ю.П. Рыкушина для паротита основана на системе дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (ДУОА) [3]. Для моделирования эпидемиологического процесса используют несколько классов моделирования: формальную аппроксимацию (приближение), формальную экстраполяцию (в основном кривых заболеваемости) и содержательное моделирование эпидемического процесса с дискретным или непрерывным течением [3]. Моделирование протекания вирусного заболевания в организме человека с помощью системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений представлено в источнике [4].

В Донецком национальном техническом университете научные работы, которые бы касались вопросов моделирование динамики протекания протекания вирусного заболевания отсутствуют. Но есть научные труды на схожие тематики:

1. "Варианты классификации по байесу для прогноза развития пневмонии при острых отравлениях психотропными средства" авторы: Ельков А.Н., Ильяшенко К.К. [ 12 ].

2. "Построение запросов к базе медицинских рентгеновских снимков на основе анализа векторного представления изображений" авторы: Бовырин А.В., Губанов А.В., Колесов А.И., Курякин В.Ф., Родюшкин К.В., Чудинович Б.М.[13 ].

3. "Pазработка специализированной компьютерной системы обработки томограмм для диагностики заболевания поджелудочной железы" автор Дейнега М.Ф.[14].

4. "Лікувльне та профілактичне плавання при захворюваннях сколіозом" авторы: Семенова Н.Л., Cухарева Л.В. , Стойка Р.В.[15].

4. Решение задач и результаты исследований.

Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает динамику вирусного заболевания [4], представлена в выражении (1):

где βVdt – прирост числа вирусов dV за интервал времени dt ;

γFVdt – описывает число вирусов, которые нейтрализуются антителами F;

τ – время, в течении которого осуществляется формирование каскада плазменных клеток;

α – коэффициент, учитывающий вероятность, с которой один антиген способен возбудить реакцию организма;

C – иммунологический уровень плазменных клеток в организме;

ρCdt – генерация антител плазменными клетками;

ηγVF – учитывает уменьшение числа антител в интервале времени за счет связи с антигенами и выходом из дальнейшей активной борьбы;

μ_f – коэффициент, обратно пропорциональный времени распада антитела;

dm – описывает изменение пораженной ткани;

σVdt – ткань организма, которая была разрушена вирусами;

μ_mmdt – ткань восстановленная за счет деятельности организма.

Основными действующими фактурами вирусного заболевания является: количество вирусов в организме V, число плазменных клеток C, производящих антитела F, и масса поврежденных вирусами ткани M. Первое уравнение системы (1) описывает изменение числа вирусов в организме. Второе уравнение системы (1) определяет рост плазменных клеток C. Третье уравнение системы (1) позволяет подсчитать баланс числа антител данной структуры, реагирующих с антителами вируса. Последнее уравнение из модели характеризует баланс поврежденной ткани организма при данном заболевании [4].

Пусть имеются математическая модель прогноза изменения состояния пациента в результате применения медикаментозной терапии:

где α_i – нечёткие параметры, характеризующие степень тяжести заболевания.

Ограничения, наложенные на составляющие векторов u и z, которые определяют их допустимые области измерения, представим в следующем виде:

Частные целевые функции f_i(u₁. u_n;α_i), i=1. m составляют векторную функцию f и различаются своими коэффициентами относительной важности (весами) (γ₁. γ_m) , значения которых могут изменяться.

Требуется найти вектор управления u * =(u₁. u * _n), обеспечивающий наилучшее приближение к желаемым значениям локальных критериев f * _i:

где f_i(u,α_i) – нечёткие локальные критерии, значения которых вычисляются по моделям;

f * _i – желательные (идеальные) значения локальных критериев, задаваемых ЛПР;

g_j(u) – ограничения на составляющие вектора u;

– множество уровня α нечётких параметров
, введённое для учёта нечёткости параметров α_i .

В качестве вектора управляющих параметров u= (u₁. u_n) выступает набор дозировок n препаратов назначаемой базисной и ингаляционной терапии.

Нечёткие параметры α_i зададим в виде лингвистической переменной, которая будет характеризовать тяжесть заболевания. Допустим, лингвистическая переменная α_i будет состоять из трёх термов, что будут характеризовать лёгкую, среднюю и тяжёлую форму протекания заболевания.

Эффективность лечения , как правило , оценивается по следующим критериям [7]: выраженность основных симптомов ( f₁ ), улучшение состояния пациента при анализе катамнеза ( f₂ , иммуномодулирующий эффект проводимой терапии ( f₃ ), которые составляют векторную функцию f и различаются весами. Значения функции f₁ определяется в результате осмотра врача, f₃ – с помощью анализа иммунограммы. А функцию f₂ предлагается спрогнозировать с учетом формы тяжести заболеваний.

Для решения подобных задач целесообразно использовать подход, основанный на принципе гарантированного результата [8]. В этом случае производится минимизация наибольшего отклонения нечётких значений локальных критериев от их эталонных значений при выполнении наложенных ограничений:

При нечётких ограничениях в задаче (5)-(6) необходимо построить функцию принадлежности μ_j(u), j=1,J выполнения каждого из ограничений g _j≥b_j, j=1,J .

Целесообразность минимаксной постановки задачи принятия решений можно объяснить тем, что назначенная терапия должна обеспечивать гарантированный результат выздоровления пациента.

Данную задачу многокритериальной оптимизации в условиях неопределённости можно свести к задаче многокритериальной оптимизации на основе множеств уровня α , что позволит осуществить поиск рациональных вариантов решения по выбираемым критериям [8].

Предлагается использовать следующий алгоритм решения задачи:

1. Выделить диапазоны значений α для различных степеней тяжести протекания заболевания. Например, могут быть выделены следующие степени тяжести (СТ) заболевания:

СТ=1, при 0,7≤α≤1,0 - тяжёлая форма;

СТ=2, при 0,3≤α≤0,7 - средняя форма;

СТ=3, при 0,0≤α≤0,3 - лёгкая форма.

2. ЛПР должен назначить желательные (эталонные) значения локальных критериев f * _i.

3. Рассчитать минимаксные (гарантированные) варианты решения задачи (5)-(6) при различных формах тяжести заболевания.

4. ЛПР должен выбрать из полученного множества решений задачи наиболее приемлемый вариант с учётом имеющейся степени тяжести протекания заболевания. Если вариант не выбран, то ЛПР должен скорректировать f * _i (вернуться к пункту 2) и заново рассчитать минимаксные варианты решения задачи.

5. Поиск прекратить. Вывести значения f * _i(u,α_i), СТ и рекомендуемый вектор управления – u * =(u * ₁. u * _n).

Итерационная процедура последовательной минимизации максимального отклонения значений локальных критериев от эталонов повторяется до тех пор, пока ЛПР не удовлетворят текущие результаты.

Предложенный алгоритм решения задачи, основанный на сочетании методов идеальной точки и гарантированного результата, позволяет эффективно решать такие задачи принятия решений, в которых значения локальных критериев характеризуются размытостью.

Выводы

Проведен обзор существующих моделей вирусных инфекций. Рассмотрены модели, которые характеризуют распространения эпидемии и модели, которые описывают распространение инфекции внутри организма человека. Приведена постановка многокритериальной нечёткой задачи принятия решений при выборе медикаментозной терапии. Рассмотрен алгоритм её решения, основанный на методах сведения нечётких задач к чётким через введение множеств уровня α .

В рамках проведенных исследований выполнено:

1. Проанализированы особенности процесса протекания вирусного заболевания.
2. Выполнен обзор существующих моделей прогноза динамики протекания и распространения вирусного инфекционного заболевания.
3. Разработан алгоритм моделирования протекания вирусного заболевания, который поможет выбрать эффективное лечение.

При написании данного реферата магистерская работа еще не завершена. Окончательное завершение: декабрь 2014 года. Полный текст работы и материалы по теме могут быть получены у автора или его руководителя после указанной даты.

Рисунок 1 – Процесс заражения вирусными инфекциями

Список источников

1. Ющук Н.Д. Инфекционные болезни : учеб. для студ. мед. вузов / Н.Д. Ющук, Ю.Я. Венгеров. – М. : Медицина, 2003. – 544 с.: ил. – (Учеб.лит. для студ.мед.вузов).

Кондратьев М. А Совершенствование методологии моделирования распространения инфекционных заболеваний // Вычислительные, измерительные и управляющие системы: сборник научных трудов.— СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2011. – С. 37–44.

Марчук Г.И. Математические методы в клинической практике / Г.И. Марчук, Н.И. Нисевич. – Новособирс : Наука, 1978. – 120 с.

Гамиева Е.В. Новые технологии в лечении бронхообструктивного синдрома у детей с острыми респираторными заболеваниями / Е.В. Гамиева, В.В. Лазарев // Вестник новых медицинских технологий. – 2009. – Т. XVI, № 3. – С. 190–191.

Шлоссберг Д. Дифференциальная диагностика инфекционных болезней: Пер.с англ. / Д. Шлоссберг, И. А. Шульман. – М. : Бином; СПб. Невский диалект, 1999. – 318 с.

Селякова С.М. Нечеткая модель и алгоритм решения задачи выбора медикаментозной терапии / С.М. Селякова // Штучний інтелект. – 2014. – № 2. – С. 75–80.