Математика шпор формула ?аза?ша

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x); y=f(x-a); y=f(x)+b; y=f(ax); y=kf(x); y=|f(x)|; y=f(|x|). Построение графика обратной функции

Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.

Неравенства, понятия, строгие, нестрогие, решение. Свойства неравенств. Решение линейных неравенств. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов при решении неравенств.

Решение показательных неравенств. Решение логарифмическмх неравенств. Решение иррациональных неравенств. Решение неравенств с модулем. Часто применяемые неравенства

Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла

Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой "в отрезках". Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Нормальное уранение прямой.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Формулы, правила, свойства. Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Для начала шпаргалка в компактном виде:

Формулы сокращенного умножения

(а+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(а-b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

a 3 – b 3 = (a-b)( a 2 + ab + b 2 )

a 3 + b 3 = (a+b)( a 2 – ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b+ 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b+ 3ab 2 - b 3

Свойства степеней

a m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a - r = 1/ a r (a>0, r ε Q)

a m · a n = a m + n

a m : a n = a m – n (a≠0)

Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) – первообразная

x n = x n +1 /n+1 + C

a x = a x / ln a + C

cos x = sin x + C

1/ sin 2 x = – ctg x + C

1/ cos 2 x = tg x + C

sin x = – cos x + C

Геометрическая прогрессия

q – знаменатель прогрессии

b _n = b₁ · q n – 1 – n-ый член прогрессии

Модуль

-a, если a Формулы cos и sin

sin (x + π) = -sin x

cos (x + π) = -cos x

sin (x + 2πk) = sin x

cos (x + 2πk) = cos x

sin (x + π/2) = cos x

Объемы и поверхности тел

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед V = S·h

2. Прямая призма S_БОК = p·h, p – периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный

V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a)

P – полная поверхность

4. Куб: V = a 3 ; P = 6 a 2

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr 2 h

8. Цилиндр круговой: S_БОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr 2 h

10. Конус круговой: S_БОК = 1/2 pL= πrL

Тригонометрические уравнения

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn

sin x = -1, x = – π/2 + 2 πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x = π + 2 πn

Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy – cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 - ₊ tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x - ₊ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x - ₊y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x - ₊y/2)

1 + cos 2x = 2 cos 2 x; cos 2 x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin 2 x; sin 2 x = 1- cos2x/2

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

а – сторона, d – диагональ S = a 2 = d 2 /2

a – сторона, d₁, d₂ – диагонали, α – угол между ними S = d₁d₂/2 = a 2 sinα

9. Правильный шестиугольник

a – сторона S = (3√3/2)a 2

S = (L/2) r = πr 2 = πd 2 /4

Правила дифференцирования

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)

(tg x)’ = 1/ cos 2 x

(ctg x)’ = – 1/ sin 2 x

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

Уравнение касательной к графику функции

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x = a , x = b

Формула Ньютона-Лебница

sin x = b x = (-1) n arcsin b + πn

cos x = b x = ± arcos b + 2 πn

tg x = b x = arctg b + πn

ctg x = b x = arcctg b + πn

Теорема синусов : a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов : с 2 =a 2 +b 2 -2ab cos y

Неопределенные интегралы

∫ x n dx = (x n +1 /n+1) + C

∫ sin x dx = – cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ dx/sin 2 x = -ctg + C

∫ dx/cos 2 x = tg + C

∫ x r dx = x r+1 /r+1 + C

Логарифмы

Формулы двойного аргумента

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x -1 = 1 – 2 sin 2 x = 1 – tg 2 x/1 + tg 2 x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg 2 x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg 2 x

ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg 3 x / 1 – 3 tg 2 x

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) – cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

Формулы дифференцирования

x’ = 1 (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k (cos x)’ = – sin x

(1/x)’ = – (1/x 2 ) ( ln x)’ = 1/x

(e x )’ = e x ; (x n )’ = nx n-1 ;(log _a x)’=1/x ln a

Площади плоских фигур

1. Прямоугольный треугольник

S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник

S = (a/2)·√ b 2 – a 2 /4

3. Равносторонний треугольник

S = (a 2 /4)·√3 (a – сторона)

4. Произвольный треугольник

a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a 2 b sin C =

a 2 sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α

cos (x + π/2) = -sin x

Формулы tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

ctg (x + πk) = ctg x

ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = – ctg x

ctg (x + π/2) = – tg x

sin 2 x + cos 2 x =1

1 + tg 2 x = 1/ cos 2 x

1 + ctg 2 x = 1/ sin 2 x

tg 2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos 2 (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin 2 (x/2) = 1 – cos x/ 2

P = 4 πR 2 = πD 2

V = πh 2 (R-1/3h) = πh/6(h 2 + 3r 2 )

S_БОК = 2 πRh = π(r 2 + h 2 ); P= π(2r 2 + h 2 )

V = 1/6 πh 3 + 1/2 π(r 2 + h 2 )· h;

14. Шаровой сектор:

V = 2/3 πR 2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

Формула корней квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b 2 -4ac)

Если D>0, то x_1,2 = -b± /2a

Арифметическая прогрессия

a _n+1 = a _n + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a _n = a ₁ + (n – 1)·d – формула n-го члена

Радиус описанной окружности около многоугольника

R = a/ 2 sin 180/n

Радиус вписанной окружности

L = 2 πR S = πR 2

Площадь конуса

Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилещащему. Котангенс – наоборот.

Скачать шпаргалки по математике

Скачать всё это в компактном виде: matematika-shpory.doc.

Рекомендуем:

Шпаргалка для сдачи экзамена по математическому анализу (матану, матаналу - кому как больше нравится^^). Уже оформленная (в формате doc) - Вам останется лишь распечатать, вырезать небольшие квадраты ножницами и пользоваться готовыми шпорами.

Вот вопросы, которые есть в данной шпаргалке:

1. Теорема о среднем для определенного интеграла и ее следствия.
2. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
3. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной на отрезке функции. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
5. Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле.
6. Длина дуги гладкой кривой, ее выражение в виде определенного интеграла.
7. Понятие площади плоской квадрируемой фигуры. Теорема о квадрируемости криволинейной трапеции.
8. Определение несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от неограниченных функций. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
9. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла по абсолютному промежутку. Признак абсолютной сходимости, основанный на сравнении подинтегральных функций.
10. Теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в несобственных интегралах.
11. Определение многомерности координатного евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.
12. Предел последовательности точек в многомерном евклидовом пространстве. Критерий Коши сходимости последовательности точек.
13. Теорема о связи поточечной и покоординатной сходимости.
14. Предел функции многих переменных в точке (по совокупности переменных). Теорема о повторном пределе.
15. Непрерывность функции многих переменных в точке и на множестве. Теорема о непрерывности сложной функции.
16. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
17. Ограниченность функции многих переменных, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
18. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
19. Равномерная непрерывность функции многих переменных на ограниченном замкнутом множестве.
20. Дифференцируемость и полный дифференциал функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие полной дифференцируемости.
21. Теорема о дифференцируемости сложной функции, вычисление частных производных. Инвариантность формы первого дифференциала.
22. Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции многих переменных.
23. Производная по направлению и градиент функции многих переменных. Выражение произвдн через градиент.
24. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.
25. Формула Тейлора для функции многих переменных с остаточных членом в форме Лагранжа.
26. Локальная формула Тейлора функции многих переменных с остаточным членом в форме Пеано (формулировка).
27. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.
28. Достаточные условия экстремума функции многих переменных.
29. Регулярное отображение и его свойства.
30. Понятие зависимости системы функций. Теорема о необходимых условиях зависимости. Формулировка достаточных условий зависимости.
31. Теорема о существовании, единственности и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением с двумя переменными.
32. Теорема о дифференцируемости неявной функции, определяемой одним уравнением с двумя переменными.
33. Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений.
34. Понятие отображения. Дифференцируемое отображение и его дифференциал. Матрица Якоби и Якобиан системы функций, их свойства. Отображения.

Пусть задана кривая L и T-произвольное разбиение отрезка [a,b]. Обозначим M0, M1,…,Mn -соответcвующие точки кривой. Ломаную M0,…Mn назовем ломаной, вписанной в кривую L и отвечающую заданному разбиению T отрезка [a,b]. Обозначим li=M_i-1 M_i – длину звена ломаной. Общая длина будет определятся выражением . .

Определение 2. Кривая L называется спрямляемой, если множество всех вписанных в кривую L ломаных, отвечающее всем разбиениям T отрезка [a,b] ограничено.

Определение 3. Длиной дуги l кривой L называется Sup => l > 0 и существуют неспрямляемые кривые.

Лемма 1. Пусть разбаению T отрезка [a,b] соответсвует длина длина l ломаной, вписанной в кривую L. Если разбиение T’ получено из разбиения T путем добавления новых точек, то l’ > l.

Свойства спрямляемых кривых:
1. Если кривая спрямляема, то длина l её дуги не зависит от параметризации этой кривой.

2. Если спрямляемая кривая L при помощи конечного числа точек Mi разбита на конечное число кривых Li, то каждая Li спрямляема и ещё кое-что (см. в оригинале).

3. Пусть L задана параметрическим уравнением. Обозначим через l(t) длину участка Lt, точки которого определяются всеми значениями параметра t. Тогда l(t) будет непрерывной и возрастающей функцией параметра t.

Доказательство. Здесь идёт длинное доказательство с формулами. Потом даны ещё одна теорема и лемма.

Информация о работе

Поможем подготовить работу любой сложности

Скачать файл с работой

Помогла работа? Поделись ссылкой

Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:
(a±b)2=a2±2ab+b2
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+aІxn-3+. +an-1)
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и — корни уравнения
ax2+bx+c=0
Степени и корни:
am•an = am+n
am:an=a m-n
(am)n=a mn
am /bm = (a/b)m
ambm = abm
a0=1; a1=a
a-m = 1/am
m√a =b => bm=a
m√am√b = m√ab
√a≥ 0
m√(√(n&a)) = mn√a; mk√(a^nk ) = m√(a^n )
√(m&a/b)=√(m&a)/√(m&b); a1/m =m√a; m√(a^n )=am/n
Квадратное уравнение
ax2+bx+c=0; (a0)
x1,2= (-bD)/2a; D=b2 -4ac
D>0 x1x2 ;D=0 x1=x2
D ab = x; a>0,a0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x=ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c1
Прогрессии:
Арифметическая
an = an-1 +d
2an= an-1 + an+1
an = a1 + d(n-1)
Sn = n(a1 + an )/2
Sn = (a1+d(n-1))n/2
Sn= a1 + a2 +. +an
Геометрическая
bn = bn-1  q
b2n = bn-1 bn+1
bn = b1qn-1
Sn= (bnq- b1)/(q-1)
Sn = b1 (qn-1)/(q-1)
S= b1/(1-q) Тригонометрия.
sin x = a/c; cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (-) = sin 
sin (/2 -) = cos 
cos (/2 -) = sin 
cos ( + 2k) = cos 
sin ( + 2k) = sin 
tg ( + k) = tg 
ctg ( + k) = ctg 
sin2  + cos2  =1
tg  = cos / sin ,   n, nZ
tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ
1+tg2 = 1/cos2 , (2n+1)/2
1+ ctg2 =1/sin2 ,  n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y  /2 + n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y  /2 + n
Формулы двойного аргумента.
sin 2 = 2sin  cos 
cos 2 = cos2 - sin2 = 2cos2 -1= = 1-2 sin2
tg 2 = (2 tg)/ (1-tg2) 1+ cos  = 2 cos2 /2
1-cos = 2 sin2 /2
tg = (2 tg (/2))/(1-tg2(/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin2 /2 = (1 - cos )/2
cos2 /2 = (1 + cos)/2
tg /2 = sin/(1 + cos ) =
=(1-cos )/sin 
  + 2n, n Z
Ф-лы преобразования ‘+’ в ‘*’
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cosx - cosy=-2sin(x+y)/2sin (x-y)/2
tg⁡x+tg⁡y=sin⁡〖(x+y)〗/(cos⁡x cos⁡y )
tg⁡x-tg⁡y=sin⁡〖(x-y)〗/(cos⁡x cos⁡y )
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y=(cos (x-y) - cos (x+y))/2
cosx cosy = (cos (x-y)+ cos (x+y))/2
sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))/2
Соотнош. между ф-ями
sin⁡x=(2 tg⁡〖((x)⁄2〗))/〖1+tg^2〗⁡〖(x⁄(2))〗
cos⁡x=(1-tg^2⁡〖((x)⁄2〗))/〖1+tg^2〗⁡〖(x⁄(2))〗
tg⁡x=(2 tg⁡〖((x)⁄2〗))/〖1-tg^2〗⁡〖(x⁄(2))〗 Тригонометрические уравнения:
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n arcsin m + k, k Z
sin x =1 ; sin x = 0
x = /2 + 2k ; x = k
sin x = -1: x = -/2 + 2 k
cos x = m; |m| = 1
x =  arccos m + 2k
cos x = 1 ; cos x = 0
x = 2k ; x = /2+k
cos x = -1: x = + 2k
tg x = m
x = arctg m + k
ctg x = m
x = arcctg m +k
Производные:
(С)’=0; (x^n )^=nx^(n-1)
(√x)^=1⁄(2√x)
(a^x )^=a^x ln a
(ln⁡x )^=1⁄x
(〖log〗_a⁡x )^=1⁄(x ln⁡a )
(sin⁡x )^=cos⁡x
(cos⁡x )^=-sin⁡x
(tg ax)^=a/(〖cos〗^2 ax)
(ctg ax)^=-a/(〖sin〗^2 ax)
(arcsin ax)^=a/√(1-a^2 x^2 )
(arccos ax)^=-a/√(1-a^2 x^2 )
(arctg ax)^=a/(1+a^2 x^2 )
(arcctg ax)^=-a/(1+a^2 x^2 ) Геометрия
Треугольники

 +  +  =180
Теорема косинусов:
c2= a2 + b2 - 2ab cos 
Теорема синусов:
a⁄sin⁡α =b⁄sin⁡β =c⁄sin⁡γ =2R
Медиана дели треуг. на два равновеликих.
Формула Герона :
p=Ѕ(a+b+c)
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c) )
S =1/2 ab sin 
Sравн.=(a2√3)/4
S = ah/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2 h
Круг
S= R2
Sсектора=(R2)/360

Стереометрия
Параллепипед
V=SоснР; V=abc (прямоуг.)
Пирамида
V =1/3Sосн.H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
V=H/3 (S1+S2+√(S_1 S_2 )), (S1иS2-Sосн.)
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 R2H
Sбок. =RL; Sполн.= R(R+L)
Усеченный
Sбок.= L(R1+R2)
V=1/3H(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.H; прямая: Sбок.=Pосн.H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная: Sбок.=Pпсa
V = Sпсa, а -бок. ребро.
Pпс - Pсеч.; Sпс - пл.⊥ сечения
Цилиндр.
V=R2H ; Sбок.= 2RH
Sполн.=2R(H+R)
Sбок.= 2RH
Сфера и шар .
V = 4/3 R3-шар; S = 4R3 - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 R3H; H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=H2(R-H/3); S=2RH

Читайте также:

• Ваньтун против боли в суставах
• Синдром диффузной мышечной гипотонии что это
• Как начинается васкулит на коже первоначальное
• Как отличить мышечную боль от аппендицита
• Артроз плюснефалангового сустава лечение отзывы