Множество и его элементы шпоры

Цель учебного пособия – научить учащихся основам логики, привить навыки самостоятельного, творческого, последовательного и определенного мышления, познакомить с основными логическими понятиями, законами и методами. В издании большое внимание уделяется таким вопросам, как культура мышления, классическая и неклассическая логика, суждение и норма и т. д. Издание адресовано студентам высших учебных заведений гуманитарных специальностей, а также учащимся средних учебных заведений.

• 1. Предмет и значение логики
• 2. История возникновения и развития логики как науки
• 3. Формирование неклассической логики
• 4. Модальная логика и другие разделы неклассической логики
• 5. Логика оценок и логика норм
• 6. Роль логики в формировании логической культуры человека
• 7. Логика как наука
• 8. Понятие его общая характеристика
• 9. Понятия и виды определений
• 10. Общие правила определения понятий
• 11. Определение через род и видовое отличие. Генетическое и операциональное определение
• 12. Виды понятий
• 13. Множество (класс) и его элементы
• 14. Отношения между понятиями
• 15. Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Логика. Шпаргалка (А. С. Корчагина, 2009) предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

13. Множество (класс) и его элементы

Классом, или множеством, называется определенная совокупность предметов, имеющих некоторые общие признаки. Множество в логике является абстрактным предметом, в котором каждый предмет, его составляющий, рассматривается лишь под углом зрения тех признаков, которые отражены в содержании того или иного понятия. Поскольку все они рассматриваются под углом зрения одних и тех же признаков, то становятся неразличимыми: мы их различаем не по свойствам и отношениям, а по именам.

Множество может иметь самое разное количество элементов, как то: бесконечность (звезды на небе), несколько (планеты Солнечной системы), один (звезда Солнечной системы), 0 (спутники Луны).

В зависимости от того, сколько элементов содержат понятия, они подразделяются на:

Живя в современном мире, мы понимаем, что практически все предметы состоят из отдельных элементов, но мы воспринимаем не элементы, а сам предмет. Так, мы воспринимаем стол, а не составные его части, хоккейную команду, а не отдельных личностей в ней и т. д. И понятия, отражающие группы элементов, мыслимых как единое целое, носят название собирательных.

Элемент класса – это предмет, входящий в данный класс. Так, элементами множества факультетов будут факультет естественных наук, гуманитарный факультет, механико-математический факультет и другие факультеты. Различают универсальный класс, единичный класс и нулевой, или пустой, класс. Класс, состоящий из всех элементов исследуемой области, называется универсальным классом (класс планет Солнечной системы, класс русских фонем). Если класс состоит из одного-единственного элемента, то это будет единичный класс (планета Юпитер, консонант). Наконец, класс, который не содержит ни одного элемента, называется нулевым (пустым) классом. Пустым классом является класс русских артиклей. Число элементов пустого класса равно нулю. Установление границ естественного класса предметов, т. е. решение вопроса о его тождестве, возможно в результате эмпирических или теоретических исследований. Это сложная задача, т. к. элементы внеязыковой действительности тесно связаны между собой, и при их классифицировании у исследователя могут возникать трудности. Не менее трудная задача – определение тождества языковой единицы: практически все классификационные проблемы в описательной лингвистике связаны с возможной неоднозначностью решения вопроса о границах языкового класса.

• 1. Предмет и значение логики
• 2. История возникновения и развития логики как науки
• 3. Формирование неклассической логики
• 4. Модальная логика и другие разделы неклассической логики
• 5. Логика оценок и логика норм
• 6. Роль логики в формировании логической культуры человека
• 7. Логика как наука
• 8. Понятие его общая характеристика
• 9. Понятия и виды определений
• 10. Общие правила определения понятий
• 11. Определение через род и видовое отличие. Генетическое и операциональное определение
• 12. Виды понятий
• 13. Множество (класс) и его элементы
• 14. Отношения между понятиями
• 15. Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Логика. Шпаргалка (А. С. Корчагина, 2009) предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Марта 2013 в 18:20, шпаргалка

Числовые множества. Основные операции над множествами. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Окрестность точки.
Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Четные и нечетные функции. Периодические функции.
Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции, их классификация.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.
Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция (б.б.ф.).

Шпоры_матан.docx

1. Числовые множества. Основные операции над множествами. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Окрестность точки.
2. Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Четные и нечетные функции. Периодические функции.
3. Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции, их классификация.
4. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.
5. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция (б.б.ф.).
6. Бесконечно малые функции (б.м.ф.). Основные теоремы.
7. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах функций. Признаки существования пределов функций.
8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
9. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них. Применение эквивалентных бесконечно малых функций.
10. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
11. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
12. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производная суммы, разности; произведения и частного функций.
14. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
15. Гиперболические функции и их производные.
16. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
17. Логарифмическое дифференцирование.
18. Производные высших порядков явно заданной функции. Механический смысл производной второго порядка.
19. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала функции.
20. Основные теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
21. Дифференциалы высших порядков.
22. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: а) теорема Ролля, б) теорема Лагранжа, в) теорема Коши.
23. Теоремы Лопиталя для случаев неопределенностей “0/0” и “¥/¥”.
24. Раскрытие неопределенностей различных видов.
25. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия.
26. Глобальные и локальные экстремумы функции. Достаточное условие отсутствия локального экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования локального экстремума.
27. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
28. Выпуклые функции. Достаточное условие строгой выпуклости функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.
29. Асимптоты графика функции. Примеры.
30. Общая схема исследования функции и построения графика. Примеры.

1. Числовые множества. Основные операции над множествами.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.Например:N= <1; 2; 3; . ; n; . >— множество натуральных чисел, Z= <0; ±1; ±2; . ; ±n; . >— множество целых чисел; R—множество действительных чисел. Операции над множествами. Два множества

А=В, если они состоят из одних и тех же элементов.Объединением множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,2>, то А ∩ В = <2,4>.Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5>, то АВ = <1,2>Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5,6>, то А Δ В = <1,2>∪ <5,6>= <1,2,5,6>.Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Числовыми промежутками называют подмножества всех действительных чисел.

2. Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Четные и нечетные функции. Периодические функции.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если

каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент. Переменная у- зависимая переменная. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Функцию задают при помощи формулы. Например, у = 2х – 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x). График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции . Функция у = f (x) называется чётной, если она не меняется, когда независимое переменное изменяет только знак, то есть, если f (—x) = f (x). Если же f (—x) = — f (x), то функция f (x) называется нечётной. Например, у = cosx, у = x 2 — чётные функции, а = у sinx, у = x 3 — нечётные. График чётной функции симметричен относительно оси Оу, график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

Конспект лекции Основы теории множеств

Элементы и множества

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно, как минимум, что оно состоит из элементов. Можно сказать:

Определение1: Множеством называется любая совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством.

Определение2: Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих в него, либо их свойствами.

Определение3: Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.

Элементы, составляющие мно­жество, обозначаются строчными латинскими буквами: a , b , m , x , y …; множество часто обозначают прописными ла­тинскими буквами А, В, М, Х, У… .

Существует два способа задания множества:

перечисление элементов (только для конечных множеств):

указание характеристических свойств:

– множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

R – множество вещественных чисел;

Множество студентов в группе.

Определение 4: Множество называется конечным , если оно одержит конечное число элементов. Все остальные множества называются бесконечными .

Перечислением можно задавать только конечные. Бесконечные множества задаются характеристическим свойством (предикатом) или порождающей процедурой.

Определение 5: Множества, не содержащие элементы, называются пустыми множествами . Пустое множество обозначают символом  или <>.

Определение 6: Универса́льное мно́жество (универсум) — в математике множество , содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.

т.е. А  А; 4) Универсальное множество U обладает свойством: все рассматриваемые множества являются его подмножеством А  U, где А – любое множество.

Определение 8. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обозначают так: А = В.

Для того, чтобы доказать равенство множеств А и В нужно:

1) доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества В;

2) доказать, что каждый элемент множества В является элементом множества А.

Определение 10: Мощность множества А обозначается | А |.

Для конечных множеств мощность – это число его элементов.

Определить все подмножества множества В=

Приведите примеры бесконечного множества.

Конспект лекции Операции над множествами

1. Операции над множествами

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.

Для получения новых множеств из уже существующих, используют операции над множествами. Рассмотрим основные из них.

Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В без повторения:

Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение: Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

2. Основные тождества алгебры множеств

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):

1. Коммутативность объединения

1’. Коммутативность пересечения

2. Ассоциативность объединения

2’. Ассоциативность пересечения

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения

3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения

4. Законы действия с пустым и универсальным множествами

4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами

5. Закон идемпотентности объединения

5’. Закон идемпотентности пересечения

6. Закон де Моргана

6’. Закон де Моргана

7. Закон поглощения

7’. Закон поглощения

8. Закон склеивания

8’. Закон склеивания

9. Закон Порецкого

9’. Закон Порецкого

10. Закон двойного дополнения

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Две пары ( x , y ) и ( u , v ) считаются равными тогда и только тогда, когда x = u и y = v

Пример . Пусть X =<1,2,3>, тогда Х 2 =

В математике совокупности объектов, объединяющие ряд объектов называют множество. Данное понятие является первичным, значит, к более простым понятиям оно не сводится.

Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством.

• Курсовая работа Множества,их элементы,поджмножества 480 руб.
• Реферат Множества,их элементы,поджмножества 220 руб.
• Контрольная работа Множества,их элементы,поджмножества 250 руб.

Подмножества

Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.

Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.

В математике часть множества называют - подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.

Обозначение множеств, подмножеств и их элементов

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$

Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $\subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.

Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.

Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.

Вспомним признак делимости на $3$: Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.

$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$

число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка

аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$

Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет

Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:

\[38\notin А, 74\notin А,934\notin А ; 12\in A,\ <\rm :\ >54\in A.\]

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества - множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Например, рассмотрим множества

Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.

Например, рассмотрим два множества:

Общей частью этих множеств будет множество $C=\left\<3,5,\right\>$

Математически это можно обозначить так: $А\cap B=\left\<3,5\right\>$

Пересечением множеств $A$ и $B$ называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество $A$ и в множество $B$.

Объединение множеств

Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$

Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$\ А\ \cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.

Разность множеств

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Определение множества

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

• А= <1,2,3,5,7>— множество чисел
• Х=1,x₂. x_n> — множество некоторых элементов x₁,x₂. x_n
• N= <1,2. n>— множество натуральных чисел
• Z= <0,±1,±2. ±n>— множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Множество рациональных чисел.

Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1.

Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.

Множество всех вещественных чисел.

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:

• число — отношение длины окружности к её диаметру;
• число — названное в честь Эйлера и др.;

Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

→	"следует", "выполняется"
↔	равносильность утверждения
:	"такой, что"

Запись ∀x: |x| 2 2 Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности, используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования, используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А=<1,2,3,4>, B= <3,1,4,2>то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,6>, то А ∪ B =

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,2>, то А ∩ В =

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5>, то АВ =

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5,6>, то А Δ В = <1,2>∪ <5,6>=

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А
В или В
А.

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом "множество". На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества. Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове "множество" и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под "множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 - начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что "Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором".

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец "канторовскому раю". Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием "парадокс брадобрея" звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали "наивной". Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая "аксиома выбора". Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел – буквой $Z$; множество рациональных чисел – буквой $Q$; множество всех действительных чисел – буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Например, указанное выше множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ – конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ – множество простых чисел.

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.

Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел – бесконечно.

Например, так как конечное множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \< a,\; g\>$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество – пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Например, рассмотрим множества $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет $\<\Delta, k \>$, а второе – $\$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\<\Delta, k \>=\$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\$ и $Y=\<\Delta, k \>$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\=\<\Delta, k \>$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\<1,5,9\>$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества. В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным. Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии: показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии – дело вкуса.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

1. $\<-3,5, 9 \>\subseteq \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$;
2. $\<-3,5, 9 \>\subset \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$;
3. $\<-3,5, 9 \>\in \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$;
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$;
5. $\varnothing=\<\varnothing \>$;
6. $\varnothing \in \varnothing$;
7. $A=\ <9, -5, 8 \<7, 6 \>\>;\; |A|=5$.

1. Нам заданы два множества: $\<-3,5, 9 \>$ и $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение первого пункта – верное.
2. В первом пункте мы выяснили, что $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\<-3,5, 9 \>\neq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Значит, множество $\<-3,5, 9 \>$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Этот факт записывается как $\<-3,5, 9 \>\subset \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Итак, утверждение второго пункта истинно.
3. Множество $\<-3,5, 9 \>$ не является элементом множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\<-3,5, 9 \>\in \<9, 8, 5, 4, \<-3,5,9\>, 6 \>$ истинно.
4. Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
5. Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\<\varnothing \>$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\<\varnothing \>$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество – это портфель. Пустое множество $\varnothing$ – пустой портфель. Множество $\<\varnothing \>$ – портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть – разные портфели :)
6. Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\<\varnothing \>$ истинно.
7. Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\<7, 6 \>$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ – ложно.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Записать булеан множества $A=\<-5,10,9\>$.

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

Напомню, что подмножество $\<-5, 10, 9 \>$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества – собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ – задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

Запись $\$ читается так: "множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно". Что именно значит словосочетание "характеристическое условие" проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)="x\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)="27\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac<2><5>$:

$$P\left(\frac<2><5>\right)="\frac<2><5>\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Это высказывание ложно, так как $\frac<2><5>$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).